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Niveau Licence Maths 1e ann
congruences
Posté par H-Maths
Bonjour!
Je dois dire si les énoncés sont vrais ou faux.
1. soit n un entier. Si n²=1(mod4) alors n=1(mod4).
Je prend l'exemple avec n²=9
donc on a n²=1(mod4).
Si n²=9 <--> n=3 ou n=-3
donc n=3(mod4)
ou n=1(mod4)
Je sais pas quoi conclure car je sais pas
si on prend les deux solutions en compte
ou si on prend uniquement le n qui convient...
2. soit p un nb premier, p différent de 2.
alors : -2^(p-1)+1=O[p].
Je dis que 2^p=2[p] car 2 un nb premier
(2^p)(2^-1)=2x1/2=1[p]
-2^(p-1)=-1[p]
-2^(p-1)+1=-1+1=0[p]
Est ce que je peux résonner comme ca et dire que l'énoncé est vrai?
Bonjour,
La première est fausse; il suffit d' un contre exemple:
Avec , alors
Quant à la seconde, c' est le petit théorème de Fermat:
si est premier avec
premier,
avec
1. Donc je prend les deux solutions en compte,
la premiere est fausse et la deuxieme vraie,
donc énoncé faux car ca marche pas dans tout les cas?
2.
Dans mon cours pour le petit théorème de fernat, le prof nous a juste donné:
xp congrue à x[p]
si p est un nb premier.
Mais mtn je connais un nouveau théorème 
Merci!
1)Il n' y pas 2 solutions mais une proposition et elle est fausse; le contre exemple le prouve.
2) Donc si est premier,
Mais si est premier différent de 2, 2 est premier avec
et
divisant
divise
d' après Gauss.
résoudre: 425x = 1[564]
je pose : 425x-564k=1
je calcule pgcd(425,564)=1
1 divise 1 donc il y a une solution
mais après je vois pas comment faire ?
Bonjour,
c'est une équation diophantienne classique:
- trouve un couple de solution particulier (x0,k0) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
- trouve tous les couples solutions (x,k)en utilisant le fait que (x,k) vérifie nécessairement 425 (x0-x) = 564(k0-k) et en utilisant Gauss.
564 = 425*1 + 139
425 = 3 * 139 + 8
139 = 8 * 17 + 3
8 = 3*2 + 2
3 = 2*1 + 1
donc 1 = 3 - 2 = [139-8*17]-[8-3*2]
= [564-425 - 17*(425-3*139)]-[425-3*139 - 2*(139-8*17)]
= [564-425 - 17*(425-3*(564-425))] - [425 - 3*(564-425)-2*(564-425-17*(425-3*139))]
= [564 - 425 - 17*(425*4-3*564)] - [6*425-5*564 +2*17*(425-3*(564-425))]
= [564*52 -425*69]-[6*425 - 5*564 +2*17*(4*425-3*564)]
= 564*52 - 425*69 - [142*425-107*564]
= 156*564-211*425
le couple (-211,-156) est donc solution. (il doit y en avoir un plus simple mais c'est celui que je trouve avec cette méthode).
ben dans un cours de mon option j'ai ca :
13x=1[7]
pgcd(13,7)=1
donc il y a une solution.
Classe de 13 = classe de -1 = classe de 6 dans Z/7Z.
donc classe de 6 * classe de 6 = classe de 1
13*(classe de x)=classe de 1
les solutions sont x=6+7k
mais ici on devrait prendre Z/564Z donc ca serait long, non?
En fait je n'ai pas encore vu les anneaux, je ne peux pas te renseigner sur ce sujet.
Ma piste est la voie un peu "bête" qui est celle que l'on utilise en TS spé maths, donc assez rudimentaire.
Cependant la méthode que j'utilise fonctionne, mais je pense que ce n'est pas celle attendue par ton professeur.
Si quelqu'un d'autre plus compétent que moi pouvait passer