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Niveau Maths sup
construction du pentagone régulier
Posté par lerockstar
on pose zo = exp(2i*Pi/5) est alpha= z0+z0^4 , Beta=z0²+z0^3 et pour tout k appartenant à 0 4 fermé mais on prend les les entiers
Ak est le point d'affixe z0^k dans le plan complexe.
1. Montrer que les points A0 A1 A2 A3 ET A4 sont les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigo et qui a pour isobarycentre O.
2. Calculer alpha et beta et alpha * beta puis en déduire que alpha et beta sont solutions d'une équation du seconde degré à coef réels que l'on précisera
3. en déduire les valeurs exactes de cos (2Pi/5) et cos(4Pi/5)
4. oN NOTE H le point d'intersection de [A1A4] avec l'axe des abscisses C le cercle de centre oméga d'affixe -1/2 passant par B d'affix i, M et N les points d'intersection de C avec l'axe des abscisses M étant supposé d'abscisse positive
4.1) montrer que valeur algébrique OH =cos(2Pi/5)
42) Montrer que valeur alégébrique OM = alpha valeur alégrique ON= Beta et que H est le milieu de [om]
dessine les puissances de z0 sur le cercle unité en découpant bien le cercle unité en 5 parts égales et tu trouveras la réponse à la question 3 facilement.
svp en fait je me suis rendu compte que ma méthode pour la 2 n'étais pas bonne j'ai supposé que alpha =1 est ce que on peut ?
sinon je vois pas pour les questions restantes
merci de votre aide j'en ai vraiment besoin
z0 et z0^4 sont conjugués (voir le dessin et le justfier par le calcul exponentiel)
donc
=2Re(z0)=2cos (2Pi/5)
de meme
sont conjugués
donc
...
De plus
d'où
et
alpha + beta = e(2iPi/5)+e(4iPi/5)+e(6iPi/5)+-e(8iPi/5)
comment faire on remarque que c la somme mais aprés je nage
cette ecriture est un peu "illisible bien que tout à fait correcte
e(2iPi/5)+e(4iPi/5)+e(6iPi/5)+-e(8iPi/5)
il faut eviter cette ecriture et lui preferer quelques choàse de plus synthétique
en accompagnant les calculs de la représentation sur le cercle unité pour mieux voir les relations de conjugaison par ex