Bonsoir, je donne qques idées, mais je ne formalise pas volontairement.

Tout d'abord, il est clair que +-l sont les 2 seuls candidats pour être valeurs d'adhérence de la suite. Donc, soit epsilon>0 ; à partir d'un certain rang, les termes de la suite sont coincés dans les disques de centre +l de rayon epsilon et de centre -l et de rayon epsilon en utilisant la convergence de Un².

Mais comme Un+1-Un converge vers 0, il est clair qu'à partir d'un certain rang que tous les termes sont coincés dans un seul de ces disques (montrer une contradiction).

J'ai oublié que L est considéré non nul, sinon c'est bcp + simple

salut
les deux données conduisent au fait que converge vers la limite de donc
et
la somme de ces deux inegalite conduit à +[/tex] 2 et con,clus. designe la valeur absolu

Merci à vous deux,

Tout d'abord, ingénieux ta méthode Milton, même si elle suppose pas mal de choses pour la rendre formelle.
Je reviens sur ce que tu a dis arff, en fait la partie qui me pose problème est de démontrer formellement que +-l sont les seuls points d'adhérence possibles (et donc que un est coincée dans les disques en question), après le reste ça va.

En fait c'est très simple

- Si Un n'a pas de valeur d'adhérence, alors Un² non plus ---> contradiction
- Si Un a une autre valeur d'adhérence V autre que +-l alors V² (différent de L donc) est aussi une valeur d'adhérence de Un² ce qui contredit la convergence de Un² vers L (car une suite convergente ne possède qu'une seule valeur d'adhérence : sa limite)

- Donc les seules valeurs d'adhérence possibles pour Un sont +l et -l....Ensuite reste à montrer que Un n'en a qu'une

D'accord, mais dans le cas des suites complexes, j'ai du mal à passer de Un à Un², car ici la convergence se fait en terme de modules, et pas de valeur absolues.
Serait-il possible (si ce n'est pas trop demander) que tu rédige une partie du truc, par exemple cette implication "Si Un n'a pas de valeur d'adhérence, alors Un² non plus", car c'est bien le passage de Un à Un² qui me pose problème...

Supposons que Un n'a pas de valeur d'adhérence
Alors |Un| n'est pas bornée (sinon on contredit Bolzano Weirestrass puisqu'on pourrait trouver un disque compact (car fermé borné) contenant tous les termes d'une suite sans valeur d'adhérence).

|Un| n'étant pas borné, Un² ne peut converger car |Un|² n'est pas bornée non plus.


PS : je ne me souviens plus si on voit bolzano weirestrass dans un espace vectoriel normé en sup :/

Oh, en effet c'est tout simple, merci beaucoup ^^ (je n'ai jamais le réflexe d'utiliser BW, pourtant c'est puissant).
On voit Bolzano-Weierstrass en dimension 1 et 2, mais ici il ne sert qu'en dimension 1 puisqu'on se ramène à la valeur absolue.
Par contre même si la notion n'est pas très compliquée, on ne parle pas de valeur d'adhérence, ou du moins pas comme cela ^^.

Merci encore.

Florian Bolgar

Bonsoir,

En fait ici la même chose,

Si la suite est bornée, on peut extraire une sous suite qui converge donc la suite a forcément une valeur d'adhérence (la limite de la suite qui converge)...Et de même si la suite a une valeur d'adhérence, on peut extraire une sous-suite qui converge, il suffit de ne sélectionner que des termes qui se "rapprochent" de la valeur d'adhérence (bon enfin, c'est expliqué avec les mains là).

Heureux de t'avoir aidé.