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Correction d un exercice de probabilités

Posté par Jenni60 (invité) 18-04-05 à 23:38

Bonsoir,

J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste. Ce serait très gentil de votre part de me répondre, car je ne suis vraiment pas sûre de mes réponses. Merci d'avance pour votre aide.
Bonne soirée!

Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'1 parc d'oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d'1 oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la "loi de durée de vie sans vieillissement" (ou encore loi exponentielle de paramètre lambda avec lambda>0)
Ttes les proba seront données à 10^-3 près.

1) Sachant que p(X>10)=0,286, montrer qu'1 valeur approchée à 10^-3 de lambda est 0,125.
On prendra 0,125 pour lambda ds la suite de l'exo.
--> J'ai bien trouvé lambda = 0,125

2)Calculer la proba qu'1 oscillo du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
--> J'ai trouvé 0,060 est-ce juste? j'ai fait p[0;1/2[ (car 6 mois c'est la moitié d'une année)

3) Sachant qu'1 appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la proba qu'il ait une durée de vie supérieure à 10 ans?
--> Je trouve 0,453. C'est bon?

4) On considère que la durée de vie d'1 oscillo est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du labo décide de commander 15 oscillo. Quelle est la proba qu'au moins 1 oscillo ait une durée de vie supérieure à 10 ans?
--> J'ai calculé p(X>10)=1-p(0<=X<=10) et j'ai trouvé 0,286. Ensuite, j'ai élevé 0,286 à la puissance 15 pour avoir la proba que tous les oscillos fonctionnent plus de 10 ans.
mais comme on me demande la proba qu'au moins 1 des oscillos fonctionne plus de 10 ans, j'ai fait 1-(0,286)^15 et je trouve 0,999.


5) Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscillo pour que la proba qu'au moins l'1 d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999.
--> J'ai trouvé n>55 (J'ai résolu l'équation 1-(e^-lambda*10)>0,999 )

Posté par
lyonnais
re : Correction d un exercice de probabilités 19-04-05 à 10:17

salut Jenni60 :

1°) p(X>10)=0,286 et X suit une loi exponentielle de paramètre > 0 , donc :

\rm 1-\int_0^{10} \lambda e^{-\lambda t} dt=0,286
1-(1-e^{-10 \lambda})=0,286
e^{-10 \lambda}=0,286
-10\lambda = ln(0,286)

\lambda = -\frac{1}{10}ln(0,286)

\blue \fbox{\lambda=0,125} -> d'accord avec toi !

2°) La probabilité qu'un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois est p(0 \le X < \frac{1}{2}). Or :

3$ \rm p(0 \le X < \frac{1}{2})=\int_0^{\frac{1}{2}} \lambda e^{-\lambda t} dt = [-e^{-\lambda t}]_0^{\frac{1}{2}}=-e^{-\frac{\lambda}{2}}+1

2$ \red \rm \fbox{p(0 \le X < \frac{1}{2})=0,061} -> donc presque d'accord avec toi ...

3°) Là, je suis pas d'accord ...

on nous demande de calculer p_{X>8}(X>10) , c'est à dire P(X>2) , car X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

\rm p(X>2)=1-\int_0^{2} \lambda e^{-\lambda t} dt = 1-(1-e^{-2\lambda}) = e^{-2\lambda}

\rm \green \fbox{p(X>2)=0,779}

4°) On sait que la probabilité qu'un appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est p(X>10)=0,286
Puisque les durées de vie des oscilloscopes sont indépendantes, la variable aléatoire Y donnant le nombre d'oscilloscopes ( parmi les 15 commandés), ayant une durée de vie supérieure à 10 ans, suit une loi binomiale tel que B(15;0,286)

donc p(Y=k)=\(\array{15\\k}\)\time 0,286^k \time 0,714^{15-k}

La probabilité qu'au moins un oscilloscope est une durée de vie supérieure à 10 ans est :

P(Y \ge 1)=1-p(Y=0)=1-\(\array{15\\0}\)\time 0,286^0 \time 0,714^{15}

\blue \fbox{P(Y \ge 1)=0,994}

5°) Soit n le nombre d'oscilloscopes achetés. La probabilité qu'au moins un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans est 1-0,714^n. Il nous faut donc résoudre :

1-0,714^n>0,999
0,714^n<\frac{1}{1000}
ln(0,714^n)<-ln(1000)
nln(0,714)<-ln(1000)   Or ln(0,714) < 0   donc :

\rm n > -\frac{ln(1000)}{ln(0,714)} > 20,51

donc \red \fbox{n \ge 21}

L'établissement doit acheter au moins 21 oscilloscopes.


Voila, je crois que j'ai fait le tour. N'hésite pas à poser des questions ...

@+
lyonnnais



Posté par Jenni60 (invité)re : Correction d un exercice de probabilités 19-04-05 à 10:26

Merci beaucoup!

Je ne comprends pas pour la question 4, pourquoi p(Y1) ?

Posté par
lyonnais
re : Correction d un exercice de probabilités 19-04-05 à 10:31

C'est p(y \ge 1) , parce qu'on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Donc ça peut être 1 - 2 - 3 - ... 15

En fait, tout sauf 0 !

Tu comprends mieux ?

Posté par Jenni60 (invité)re : Correction d un exercice de probabilités 19-04-05 à 10:56

Oui, merci d'être aussi rapide!
Bonne journée!

Posté par
lyonnais
re : Correction d un exercice de probabilités 19-04-05 à 11:02

de rien

N'hésites pas si tu as d'autres questions à poser ...

@+
lyonnais

Posté par
charter934
re : Correction d un exercice de probabilités 16-05-09 à 11:34

bonjour
a la question on me demande pour deux oscilloscopes que faire?

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