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cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi

Posté par vivgkhf (invité) 01-03-07 à 21:53

bonsoir les gens
je sais que c'est tout bête mais vraiment je vois pas comment faire là :p

Alors j'ai un exercice ou je dois calculer sinus et cosinus, c'est fait et vérifié grâce à un matheux de ce site

Voilà les données :

sinx = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

cosx = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

au final on devrait arriver à :

sin²x = \frac {\sqrt{3} + 2}{4}

cos²x = \frac {- \sqrt{3} + 2}{4}

ce qui nous donne :

sin²x + cos²x = \frac {(\sqrt{3} + 2) + (- \sqrt{3} + 2)}{4} = 1


malhereusement, j'arrive pas à passer de \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} à \frac {\sqrt{3} + 2}{4} (et ni de \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} à \frac {- \sqrt{3} + 2}{4} d'ailleurs...)

C'est pourquoi je viens vous demander un coup de main.
Jvous remercie par avance si vous pouviez me donner la méthode (si vous pouviez ne pas me donner la réponse tout de suite je vous en serais reconnaissant ^^ )

Posté par
Nightmarere : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 21:55

Bonsoir

3$\rm \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)^{2}=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}

Posté par
spmtbre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 21:56

bonsoir
ah ces identites remarquables !!!

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 22:07

mon dieu qu'est ce que je suis bête :/
J'arrive jamais à les repérer, c'est ma bête noire ça :/
vous avez pas une idée de bourrage de crâne pour que ce soit un autmatisme ? j'ai déja essayé de lire mon cours de 3ème 2 fois par jour pendant deux semaines mais une semaine après c'était déja fini...

enfin bon merci de m'avoir remis les yeux en face des trous

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 22:17

bonsoir,
si tu as une mémoire visuelle, écris les en gros (police 72 ...) en face de ton lit pour les voir chaque soir avant de t'endormir.
si tu as une mémoire auditive, enregistre les sur ton MP3 (éventuellemnt, en musique) et écoute les en boucle avant de t'endormir (on retient mieux les dernières choses avant de dormir)

Posté par
spmtbre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 22:20

et si tu vois vraiment pas , viens sur le site demander



salut lafol et nightmare

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 01-03-07 à 22:22

jfais essayer ces deux trucs en même temps :p
encore merci à vous ^^

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 01:36

j'en ai un deuxième à résoudre où je coince aussi

on me demande de trouver sin(x). Je sais que :
on a un triangle ABC ou AB = c, CB = a et AC = b
p est le demi-périmètre de ce triangle, autrement dit
p = 1/2(a+b+c)

Au cours de l'exercice j'ai trouvé qques données :

1 + cos(A) = \frac {2p(p-a)}{b \times c

1 - cos(A) = \frac {2 \times (p-b) \times (p-c)}{b \times c

On me demande maintenant de calculer sin(A).
Je pense que les deux trucs du dessus peuvent me servir mais je suis pas sûr. Voilà comment je suis parti :

sin^2(A) = 1 - cos^2(A)

sin^2(A) = (1)^2 - (cos(A))^2

sin^2(A) = (1 + cos(A)) \times (1 - cos(A))

sin^2(A) = \frac{2p(p-a)}{bc} \times \frac {2(p-b)(p-c)}{bc}

sin^2(A) = \frac {2 \times 2 \times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}

A partir de là je déraille, je sais pas comment je me déborouille mais je me retrouve avec un résultat qui tient même pas sur deux lignes...

Voilà si vous pouviez m'indiquer la marche à suivre pour me sortir de ce DM de malheur je vous en serais très reconnaissant ^^
merci d'avance

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 14:57

Bonjour, le numér. de 1-cos : 2(p-b)(p-c) = (2p - 2b)(2p - 2c)/2
= (a + c - b)(a + b - c)/2


d'autre part, le numér. de 1+cos : 2p(p-a) = 2p(2p-2a)/2
= (a + b + c)(b + c - a)/2

donc sin^2(A)=\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4b^2c^2}
maintenant, est-ce plus simple que ce que tu as écrit ??? p n'y figure plus, c'est tout ce qu'on a "gagné"
y a-t-il des précisions sur ce qui est attendu ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:15

t'es sûr(e) de ça ?
parceque ce matin je m'y suis remis et je suis arrivé à

sin^2(A) = \frac {(2a+2b+2c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{b^2c^2}

en développant, j'arrive à :

sin^2(A) = 2a^2 + b^2 + c^2 + 6ab + 4ac

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:17

Ton résultat est 8 fois le mien. tu n'aurais pas remplacé parfois p par 2(a+b+c) au lieu de (a+b+c)/2 ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:20

ton développement me laisse songeuse : avant de développer, échanger b et c ne change rien, alors qu'après, si .... (car 6ab + 4ac n'est pas 6ac + 4ab)

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:23

erf je sais plus du tout ce que j'ai fait -_- mais je pense bien m'être trompé sur p

en fait j'ai repris ma dernière ligne d'hier

in^2(A) = \frac {2 \times 2 \times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}

et depuis ça j'ai fait :

4p = 2a +2b +2c
p -a = -a +b +c
p -b = a -b +c
p -c = a +b -c (c'est sur ces 3 lignes que je me suis gourré)

a partir de là j'ai distribué pour trouver une suite de a, b et c qui tient sur 3 lignes ^^ et en simplifiant j'arrive au résultat donné
mais j'avais oublié que p = 1/2 du périmètre...

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:26

Dans la distibution, il y a des erreurs ...
tu peux utiliser des identités remarquables (encore elles) :
(a+b+c)(-a+b+c) = (b+c)²-a²
(a-b+c)(a+b-c) = a² - (b-c)², ça limite un peu la taille des calculs

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:33

je viens de le refaire et je trouve a² -b² -c² +4ab +4ac +2bc
comme quoi je fais que du faux, je trouve un truc différent à chaque fois... faut que je reprenne du début >.<

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:35

p - a = a/2 + b/2 + c/2 - a = - a/2 + b/2 + c/2
p - b = a/2 + b/2 + c/2 - b = a/2 - b/2 + c/2
p - c = a/2 + b/2 + c/2 - c = a/2 + b/2 - c/2

c'est bien ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:49

c'est bien ça, du coup on trouve pareil
En continuant mon coup des identités : (b²+c²+2bc-a²)(a²-b²-c²+2bc) = (2bc)²-(b²+c²-a²)² = (2bc)²-(b²+c²)²-a4+2(b²+c²)a²
= 4b²c²-b4-c4-2b²c²-a4+2b²a²+2c²a²
= 2b²c² + 2b²a²+ 2c²a²-a4-b4-c4

et tout ça toujours sur 4b²c²

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:50

mais toujours la même question : est-ce plus avantageux que la forme de départ ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 15:55

heu la se retrouver avec des ^4 je pense pas ^^
je vis essayer de développer ton résultat de 14h57 en faisant une distribution toute bête voir ce que ça donne

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:16

ok, quand je développe sin^2(A)=\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4b^2c^2} je trouve sin²(A) = 5ab +4c +3bc
c'est possible ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:18

au fait, c'est un exo sur la formule de Héron...

je devrais pas trouver sin(A)=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, donc sin^2(A)=p(p-a)(p-b)(p-c) ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:19

je me suis trompé à 16h16, je trouve sin²(A) = 5ab +4ac +3bc et pas sin²(A) = 5ab +4c +3bc

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:19

non, pour la raison que je te donnais tout à l'heure : normalement, échanger b et c ne change pas sin²A, mais dans ton résultat, ça change tout : 5ac + 4b n'est pas 5ab + ac. J'ai l'impression que tu procèdes à des simplifications "sauvages" de fractions, non ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:21

c'est ce que tu trouverais s'il n'y avait pas 2/(bc) dans tes 1-cos et 1+cos ...
tu étais sûr de ces résultats ? obtenus comment ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:30

heu jme suis trompé, 5ab +4ac +3bc c'est pas le résultat de sin²(A) mais de 4p(p-a)(p-b)(p-c)
je m'embrouille là :/

donc ce qui nous donne :

sin^2(A) = \frac {5ab +4c +3bc}{4b^2c^2}

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:51

toujours non ! et relis 16:21 réponse à ton 16:18

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 16:56

tu parles de quels résultats ? 5ab+4ac+3bc, ou 1-cos et 1+cos ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:07

à 16:21 ? de 1+cos et 1-cos.
5ab+4ac+3bc, c'est sûr que c'est faux ...

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:14

1+cos et 1-cos c'est donné dans le bouquin, la question précédente c'est vérifier que 1+cos = (2p(p-a))/bc et que 1-cos = (2(p-b)(p-c))/bc.

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:23

\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} est l'aire du triangle (formule de Héron, je viens d'aller vérifier), et on obtient sin(A)=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{bc} :
normal, l'aire = b*h/2, et h/c = sin(A) (c représente l'hypoténuse et h le côté opposé), donc sin(A) = (2*aire/b)/c mais c'est peut-être bien l'objet de la question suivante ...

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:23

sin(A)=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{bc} j'ai oublié les balises tex !

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:26

t'es sûre que (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ne peut pas donner 5ab+4ac+3bc ?
faudrait vraiment que je revois ma distributon...

voilà ce que j'ai trouvé (je fais une ligne par inconnu distribué) :

-a² + ab + ac + a² - ab + ac + a² + ab - ac (en simplifiant tout on arrive à a² + ab + ac)

-ab + b² + bc + ab - b² + bc + ab + b² - bc (soit b² + ab + bc)

-ac + bc + c² + ac - bc + c² + ac + ab - c² (c² + ab + ac)

-a² + ab - ac - a² - ab  +ac (-2a²)

+ab - b² + bc + ab + b² - bc (2ab)

+ac - bc + c² + ac + bc + c² (2ac)

+a² + ba - ca
-ba - b² + bc
+ca + cb - c² ( a² - b² - c² + 2bc)

quand on met tout ça bout à bout on obtient :
a² - b² - c² + a² + b² + c² -2a² + ab + ab + ab + 2ab + ac + ac + 2ac + bc + 2bc
5ab + 4ac + 3bc

non ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:31

le problème, c'est qu'entre les parenthèses, tu fais comme s'il y avait des + !
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=(-a²+ab+ac -ab +b²+bc -ac+cb+c²)(a-b+c)(a+b-c) etc

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:31

l'énoncé precis c'est "En utilisant sin^2(A) = 1 - cos^2(A), calculer sin(A) en fonction de a, b, c et p" donc meme si l'idée d'injecter la formule de l'aire est bonne, c'est pas la bonne piste :/

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:34

ce que tu avais fait à 01:36 était très bien, si l'optique était celle-là !
il ne restait qu'à écrire la racine !

voyons les choses du bon côté : ça a permis de désamorcer une erreur de développement ...

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:40

donc je dis que :
sin^2(A)=\frac{2\times2\times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}

sin(A) = \frac \sqrt{2\times2\times p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b^2c^2}

[tex]sin(A) = \frac 2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b^2c^2}[/tex]

et c'est fini ?

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:42

petit pb au niveau des balises ^^

sin^2(A)=\frac{2\times2\times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}

sin(A) = \frac {\sqrt{2 \times 2 \times p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b^2c^2}

sin(A) = \frac {2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b^2c^2}

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:44

attention la première racine descend en bas de la fraction, donc à la dernière ligne, il y a bc sans les carrés en bas de la fraction

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:47


sin^2(A)=\frac{2\times2\times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}

sin(A) = \sqrt{\frac {2 \times 2 \times p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^2c^2}}

sin(A) = \frac {2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{bc}

comme ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:48

impec !

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:55

merci beauoup lafol, commençait à me donner mal à la tête le bougre ^^

Posté par
lafol Moderateurre : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:56

bon week-end ! bien mérité !

Posté par vivgkhf (invité)re : cos²+sin² un peu trop compliqué pour moi 02-03-07 à 17:58

nop, il me reste encore un exo de maths et la fin de ma dissert de français
j'pensais pas que les maths prendraient autant de temps :p


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