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definition PPCM
Posté par freddou06
salut!!
je suis en train de bosser un exo et on me parle du ppcm de 2 entiers relatifs m et n, pour moi c'est le plus petit multiple commmun positif de m et de n.
on me dit alors que c'est aussi le multiple commun de m et de n qui divise tout autre multiple commun de m et n. Comment le prouver?!
merci d'avance!
Bonjour
On ne t'aurait pas donné une définition avec des idéaux?
Sinon: en prenant ta définition, le mieux est d'utiliser l'explicitation du PPCM avec "les facteurs premiers communs de m et n a la plus petite puissance qui apparait". le résultat est évident... On peut aussi partir du PGCD, remarquer que et y aller à coups de Bézout, mais ça me parait plus compliqué.
Bonsoir,
tu peux aussi t'en sortir en démonstration directe. Les grandes lignes sauf erreur :
- soit x un multiple commun de m et n. x=km=k'n
- considérer la division Euclidienne de x par le ppcm p de m et n : x=pq+r
- on montre alors que nécessairement r=0 et donc que p divise x.
Olivier
merci pour vos reponse en utilisant la decompostion en facteur premier ca se voit bien.
octintin je n'arrive pas a montrer que r = 0 dans le troisieme point tu peux me dire comment tu le trouve?!
x est un multiple de m et n. Idem pour pq donc x-pq=r également.
Comme r est inférieur à p le plus petit multiple commun, nécessairement r=0. Ca se tient ?
Olivier