salut milou, j'essaierais un truc comme ça, mais je ne sais pas si c'est bien démontré:

soit n > 1: - soit n est premier, et donc n = p*1 où p est premier, donc n admet un diviseur premier p
- soit n est non premier: dans ce cas, il existe k et k' dans N inférieurs à n, tels que n = k.k'
et donc soit k ou k' sont premiers, soit il existe l et l' tels que ll' = k , et m et m' tels que mm' = k' , l et l' < k et m et m' < k' , et ainsi de suite: je dirais que c'est une descente infinie, on en conclut donc qu'il n'existe pas d'entier n > 1 qui n'admette pas de diviseur premier.
A vérifier, si quelqu'un de plus compétent que moi passait par là...

Bonsoir

Je suis d'accord avec yoyodada jusqu'à:je dirais que c'est une descente infinie

en effet, comme k, k', l,l', m ,m' sont strictement inférieurs au nombre précédent qu'ils divisent, on arrive à 1 comme quotient au bout d'un nombre d'opérations inférieur ou égal à n. Le nombre précédent est alors forcément premier, et par construction il divise n.

Bonjour.

On peut aussi traiter ce problème par une récurrence forte.
La propriété est vraie au rang 2.
Supposons la vraie pour les rangs compris entre 2 et n, et considérons l'entier n+1.
De deux choses l'une, soit n+1 est premier, et alors n+1 a un diviseur premier, ce qui termine la récurrence, soit n+1 n'est pas premier. Dans ce cas, n+1 admet un diviseur p différent de 1 et n+1. On a , avec . Par hypothèse de récurrence, p admet un diviseur premier p'. Ainsi, ce diviseur divise p, qui lui même divise pq, c'est-à-dire n+1. La propriété est donc vraie au rang n+1.

Merci Arkhnor d'avoir répondu mais je ne suis pas trop à l'aise avec la récurrence... Je vais donc plus me pencher sur la méthode de yoyodada

Mais ce que je ne comprends pas dans cette méthode c'est a partir de "soit n est non premier" ...
Comment cela montre que "tout entier naturel strictement plus grand que 1 admet un diviseur premier"

Je vous remercie de votre aide