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Dénombrement

Posté par laurelle (invité) 04-04-07 à 12:26

Hello ! J'ai un gros souci sur les dénombrements... Me voilà incapable de faire cet exercice :
1- Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. A chacun de ces tirs, il a la probabilité 0.2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.
a) Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact?
b) Quelle est la probabilité  que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
(J'ai voulu utiliser la formule de cours... seulement je n'y arrive pas)
c) Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
voilà dans un premier temps le début de l'exercice, pourriez vous m'aider svp ?!

Posté par
jamo Moderateurre : Dénombrement 04-04-07 à 12:38

Bonjour,

avec un arbre, ça ira tout seul ...

2 branches : ballon crevé (p=0,2) ballon non crevé (p=0,8)

Puis à partir de la branche "ballon non crevé", tu refais 2 nouvelles branches : ballon crevé (p=0,2) ballon non crevé (p=0,8)


Puis : 0,8*0,8 = ...

Posté par laurelle (invité)re : Dénombrement 04-04-07 à 13:09

merci donc pour le
a)0.64
b)0.16
c) 0.8n*0.2 = 0.16n c'est possible ça ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 04-04-07 à 13:38

Bonjour,

pour le c) pour n=7, tu as une probabilité supérieure à 1

Je verrais plutôt: 0.8^{n-1}0.2

Posté par laurelle (invité)re : Dénombrement 04-04-07 à 16:52

oui merci j'ai compris ! par contre autre question, je ne sais plus comment on résoud les expressions de ce genre : 0.8n-1>4.95

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 04-04-07 à 17:01

Comme n \geq 1, 0.8^{n-1} \leq 1. Il y a quelque chose qui ne va pas.

Posté par laurelle (invité)re : Dénombrement 04-04-07 à 17:15

oui exact ! mince, mais pourtant mon raisonnement a faire : 0.8n-1*0.2>0.99 pour la question d) n'est pas si mauvais

la question d est : pour quelles valeurs de n a t-on pn>0.99

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 04-04-07 à 18:01

Re,

On a fait une erreur d' interprétation des questions:

On a calculé la probabilité que le ballon soit crevé au n ème tir, ce qui n' est pas la même chose.
n tirs suffiront pour le crever s' il est crevé soit au 1 er tir, soit au second....soit au n ème.
La probabilité que n tirs suffisent pour crever le ballon est la somme des probabilités pour qu' il soit crevé au 1 er tir, au second tir...... au n ème tir.

p_n=0.2+0.8 \times 0.2+ 0.8^2 \times 0.2+ \cdots 0.8^{n-1} \times 0.2= 0.2(1+0.8+ \cdots + 0.8^{n-1})=0.2 \frac{1-0.8^{n-1}}{1-0.8}=1-0.8^{n-1}

Là, ça ira beaucoup mieux:

1-0.8^{n-1}>0.99 \Longleftrightarrow 0.8^{n-1}<0.01 \Longleftrightarrow (n-1)ln(0.8)<ln(0.01) \Longleftrightarrow n>1+\frac{ln(0.01)}{ln(0.8)}

On trouve n \geq 22

Posté par laurelle (invité)re : Dénombrement 05-04-07 à 14:01

merci !!! alors nouveau problème ! voici l'énoncé : Le tireur de l'énoncé précedent participe au jeu suivant :  dans un premier temps, il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée); soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0.4096.

J'ai fais un arbre pondéré a 4 branches pour les 4 chiffres pui ensuite j'ai fais un branche pour le numéro 1. 2 pour le numéro 2 etc. et après je vois pas comment trouver le probabilité !

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 05-04-07 à 16:40

Re,

D' abord, une erreur: P_n=0.2(1+0.8+ \cdots + 0.8^{n-1})=0.2 \frac{1-0.8^n}{1-0.8}=1-0.8^n

On trouve alors n>\frac{ln(0.01)}{ln(0.8} soit n \geq 21

Pour le calcul de p_n, il est beaucoup plus élégant de passer par l' évènement contraire:
L' évènement contraire de " n tirs suffisent à crever le ballon" est :" les n premiers tirs ont échoué" de probabilité 0.8^n . Ainsi p_n=1-0.8^n.
La probabilité du b) est d' ailleurs 1-0.64=0.36 et non pas 0.16. ( c' est un cas particulier du c) avec n=2)
Je regarde la suite...

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 05-04-07 à 17:00

Re,

En appelant A_k l' évènement " tirer le numéro k avec le dé"
C_i l' évènement " crever le ballon en i tirs"
C l' évènement "crever le ballon".

C=(A_1 \cap C_1) \cup (A_2 \cap C_2) \cup (A_3 \cap C_3) \cup (A_4 \cap C_4)

Et P(C)=P(A_1 \cap C_1)+P(A_2 \cap C_2)+P(A_3 \cap C_3)+P(A_4 \cap C_4)

P(C)= \frac{1}{4}(1-0.8)+\frac{1}{4}(1-0.8^2)+\frac{1}{4}(1-0.8^3)+\frac{1}{4}(1-0.8^4)=0.4096

Tu peux faire un arbre correspondant à cette situation.

Posté par laurelle (invité)re : Dénombrement 05-04-07 à 19:21

SOS : je suis complètement pommée !
Comment arrive t-on de 0.2(1+0.8+...+0.8n) à 0.2*(1-0.8n-1)/1-0.8
Je comprends bien qu'on utilise l'élément contraire..., mais c'est tout !

Aussi pour trouver n, je ne comprends pas pourquoi vous passez directement n-1 en facteur .

Au sujet du b) je ne comprends pas non plus. Car l'énoncé nous sous entend bien qu'il a manqué le premier et réussi la second, non ?


et puis l'arbre ... je comprends bien les deux premières lignes c'est excatement ce que j'ai fais seulement la fin... je comprends pas les proba : 1/4(1-0.8) etc...

Posté par
cailloux Correcteurre : Dénombrement 05-04-07 à 20:45

Re,

1+0.8+0.8^2+ \cdots + 0.8^{n-1} est la somme de n termes consécutifs d' une suite géométrique de raison q=0.8.

Cette somme vaut \frac{1-q^n}{1-q}; ça ne te rappelle pas quelque chose ?

1-0.8^n >0.99 \Longleftrightarrow 0.8^n<0.01
La fonction ln étant croissante: 1-0.8^n >0.99 \Longleftrightarrow ln(0.8^n)<ln(0.01)
1-0.8^n >0.99 \Longleftrightarrow nln(0.8)<ln(0.01)
1-0.8^n >0.99 \Longleftrightarrow n>\frac{ln(0.01}{ln(0.8)} car on divise l' inégalité par ln(0.8)<0 et elle change de sens.

Pour le b), "2 tirs suffisent pour crever le ballon" s' interprète par "le ballon a été crevé au premier tir ou au deuxième tir" dont l' évènement contraire est "le ballon est intact au bout de deux tirs". Est-ce plus clair ?

Pour la suite: le 1 du dé sort avec la probabilité \frac{1}{4} dans ce cas, notre tireur tire une fois. La probabilité qu' un tir suffise pour crever le ballon est p_1=1-0.8 (cas particulier du p_n calculé avant pour n=1). Les évènements liés au dé et au tirs sont indépendants.
La probabilité que le tireur ait tiré 1 au dé et crevé le ballon en un tir est donc le produit des deux: \frac{1}{4}(1-0.8)

Même chose si 2,3 ou 4 sont tirés au dé.
Les probabilités que le tireur ait tiré 2,3 ou 4 au dé et que respectivement 2,3 ou 4 tirs aient suffit pour crever le ballon est respectivement \frac{1}{4}(1-0.8^2), \frac{1}{4}(1-0.8^3), \frac{1}{4}(1-0.8^4).

La probabilité que le ballon soit crevé est la somme des 4 car les 4 évènements sont disjoints.


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