Salut,

considères, si p différent de 0, le point, (n, p-1) et trouve ainsi une formule de récurrence.

++

Petite erreur, les points (i, p-1) avec i allant de 0 à n.

Bonsoir

Je ne vois vraiment pas comment faire, quoi utiliser.. pouvez vous me guider ?
Je ne vois pas ce que m'apporte ce point, comment l'utiliser...

Attend, je me suis enflammé, j'ai plusieurs relation de récurrence mais ça donne pas grand chose!
Je cherche ...

En fait, c'est tout bête, désolé, il suffit de choisir p directions verticales parmi n+p.

c'est-à-dire?

Eh bien, pour aller de (0,0) à (n,p), tu dois choisir n directions horizontales et p directions verticales, donc tu dois choisir p directions verticales parmi n+p directions.

Je suis clair ?

Euh... je ne comprend pas vraiment pourquoi je dois choisir p directions verticales parmi n+p directions...

Imagine que tu veux aller de (0,0) à (n,p) par le chemin le plus court possible.

Donc tu dois faire n pas vers la droite et p pas vers le haut.

Maintenant, si on note D un pas vers la droite et H un pas vers le haut, alors un chemin de (0,0) à (n,p) est un chemin du genre DHHHDHH avec n fois D et p fois H.

Ex : Si (n,p) = (2,2)

alors les combinaisons possibles sont :
DDHH, DHDH, DHHD, HHDD, HDHD, HDDH, c'est à dire on a positionné 2 H parmi 2+2 positions.

Et là, c'est clair ?

Je comprend bien le raisonnement, c'est toujours le "on a positionné 2H parmi 2+2 positions"...

Ce que je comprend pas c'est qu'on a dans cette série une notion d'ordre (deux ordres de passages différents=2 chemins différents) et pas de répétition (on ne passe pas plusieurs fois sur la même case vu qu'on veut arriver le plus rapidement à la case finale).
Dans le vocabulaire de terminale, on appelait ça une pliste sans répétition. C'est à dire n!/(n-p)! (formule générale) et on a vu cette année que c'était en fait AnP nombre d'arrangemment de p objets pris parmi n.

Je n'arrive pas à faire la distinction entre ce que tu me dis, mon cour, et le fait que j'ai du mal à me représenter l'exercice. Tu me parles bien d'une combinaison ?

Pour aller de (0,0) à (n,p), tu es d'accord que l'on effectue n+p mouvements.

Dans notre exemple (2,2):
On a 4 mouvements ( . , . , . , . ), et chaque chemin possède exactement 2 mouvements verticaux.
Donc on doit placer ces 2 mouvements verticaux parmi les 4 cases disponibles.

Essaie sur un exemple plus grand, du genre (3,2), tu devrais trouver donc 10.

Ceci dit je vois bien que ta formule marche et pas la mienne, je ne comprend pas bien à cerner, vois-tu

Imagine que tu ais n+p cases.

Tu dois remplir des n+p cases de p H.

Donc on a n+p choix pour le premier H, n+p-1 choix pour le second, n+p-2 choix pour le troisième ..., n-p+1 choix pour le p-ème.

Au final, tu obtiens A_n+p^p. Mais en agissant de la sorte, on a imposé un ordre sur nos H, or dans l'absolu, nos H sont indiscernables, donc on doit bien diviser par p!

On obtient finalement C_n+p^p

D'accord, tout s'éclaire

Ceci dit comment puis-je traduire cela par des suites finies ?
Ces suites finies sont donc à n+p éléments ?

Je ne sais pas trop ce que ton prof attend, mais c'est ici qu'on arrive à la formule de récurrence que je t'ai parlé au début de l'exo.

Si on note, E(n,p), le nombre de chemins allant de (0,0) à (n,p), alors essaie de montrer que :

E(n,p) = _i=0^p E(n-1,i)

Il faut pour cela raisonner sur le dernier segment horizontal (celui reliant (x,n-1) à (x,n))

Pardon pardon , (n-1,x) à (n,x), pour x entre à et p.

Par contre, là je comprend pas :/

J'avoue, mon explication était vaseuse!!!

Le nombre de chemins allant de (0,0) à (n,p) et :
. passant par (n-1,p) est exactement E(n-1,p) (et reliant forcément (n-1,p) à (n,p))
. passant par (n-1,p-1) et reliant (n-1,p-1) à (n,p-1) est exactement E(n-1,p-1)
. passant par (n-1,p-2) et reliant (n-1,p-2) à (n,p-2) est exactement E(n-1,p-2)

...

ainsi de suite

au final, on a décrit tous les chemins passant de (0,0) à (n,p) en sous chemins disjoints.

Je ne suis pas d'accord, le nombre de chemin passant par (n-1,p-1) et reliant (n-1,p-1) à (n,p-1) n'est pas exactement E(n-1,p-1), en effectuant ce chemin il peut ensuite passer par (n-1,p) préférentiellement à (n,p-1) non ? idem pour la suite...

OK, il manque un truc dans ton raisonnement,

le nombre de chemins allant de (0,0) à (n-1,p-1) est E(n-1,p-1) et ce nombre est le même que le nombre de chemin allant de (0,0) à (n,p), passant par (n-1,p-1) et reliant (n-1,p-1) à (n,p-1) puisque à partir du point (n-1,p-1), si on s'oblige d'aller à droite, il ne nous reste plus qu'une seule possibilité pour arriver à (n,p). On obtient donc : E(n-1,p-1)x1 = E(n-1,p-1).

Encore une fois, prend un exemple

D'accord, je crois que j'ai compris, effectivement, c'est plus clair.. J'ai vraiment du mal avec ce chapitre..

Donc le nombre de chemins passant par (x,p-x) et reliant (x,p-x) à (n,p), comment puis-je le trouver ?

Alors là, je suis sûr que tu peux trouver,

le nombre de chemin allant de (x,p-x) à (n,p) est le même que le nombre de chemin allant de (0,0) à ...

Pfffou je vois pas trop...

Par exemple pour n=3, p=2..., j'ai x=1 par exemple alors le nombre de chemin allant à (x,p-x) ie (1,1) il n'y en a que 2, or j'ai compté que le nombre de chemins pour aller à (n,p)=(3,2) passant par (1,1) est 6...

On reprend,

on est d'accord pour dire que :

le nombre de chemin allant de (0,0) à (n,p) et passant par (k,p-k) est égal au nombre de chemins allant de (0,0) à (k,p-k) multiplié par le nombre de chemins allant de (k,p-k) à (n,p).

Pour ton exemple, on a (n,p,k) = (3,2,1).

Le nombre de chemin allant de (0,0) à (3,2) en passant par (1,1) est donc le nombre de chemins allant de (0,0) à (1,1) (on en a 2) multiplier par le nombre de chemins allant de (1,1) à (3,2) (on en a 3).

Donc au final, on en a 2.3 = 6

Maintenant, en ramenant, (k,p-k) à (0,0), on a que le nombre de chemins allant de (k,p-k) à (n,p) est égal au nombre de chemins allant de (0,0) à (n-k,p-(p-k)) = (n-k,k).

Et voilà.

Oui bien sûr, ça je suis entièrement d'accord ! J'ai fait plusieurs cas, effectivement, ça marche, mais du coup je peux juste le dire comme ça ? Enfin, je veux dire, pas de formules ?

Ah oui, comme un changement de repère... Rholala...
Donc le nombre de chemins au final est E(x,p-x)xE(n-x,x)

C'est donc égal à ??

Et ben ... non

Le nombre de chemin allant de (0,0) à (k,p-k) est E(k,p-k) = C_k+p-k^p-k = C_p^p-k = C_p^k

Le nombre de chemin allant de (k,p-k) à (n,p) est E(n-k,k) = C_n-k+k^k = C_n^k

Au final, on trouve : C_p^k.C_n^k

Oui pardon, j'ai fait une erreur de frappe, c'est ce que j'avais mis (à une équivalence près)....

En tout cas, je te remercie vraiment d'avoir pris tout ce temps pour m'expliquer, j'en suis touchée Je vais pas tarder à aller me coucher, que demain de nouvelles heures de maths m'attendent

Merci, merci beaucoup Et je te souhaite bonne soirée !

Bonne soirée, c'est un plaisir d'aider des élèves motivés !!!

Je repasse souvent ici, car l'aide que tout le monde est très précieuse, merci à vous tous bonne soirée !