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Détermination principale de z^n

Posté par
Rana 15-08-21 à 18:05

Bonjour,
Quelle est la détermination principale de z^n pour n \in \mathbb N ?  Est-ce que c'est \mathbb C auquel on lui enlève une demi-droite passant par l'origine ou doit-on enlever n demi-droites ?
Merci d'avance !

Posté par
verdurinre : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 18:45

Bonsoir,
il n'y a pas de problème pour la détermination principale de l'argument de z^n : elle est dans ]-\pi\,;\pi].

Je me demande si ta question ne porte pas sur la détermination principale de z^{1/n}.
Dans ce cas on enlève un secteur du plan et on prend en général un argument dans ]\frac{-\pi}{n}\,;\frac{\pi}{n}]

Posté par
Ranare : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 19:33

D'accord, merci !

Mais pouvez-vous un peu détailler comment je dois trouver la détermination dans un cas général, par exemple z^\alpha avec \alpha réel ou complexe, car je n'arrive pas à comprendre comment on fait.

Posté par
verdurinre : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 20:24

On utilise z^\alpha=\exp(\alpha \ln z) en prenant la détermination principale du logarithme.

Par exemple la détermination principale de (1+\mathbf{i})^{1- \mathbf{i}} est \exp\bigl((1-\mathbf{i})(\frac{\ln2}2+\mathbf{i}\frac{\pi}4)\bigr)

Posté par
Ranare : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 21:08

Par exemple z^i =\exp ( i (\ln|z|+i\arg(z))) donc la détermination principale de z^i c'est quoi ?

On prend une determination du log disant ]-\pi,\pi[ auquel on ajoute la rotation causé par i c'est-à-dire \pi/2. donc la détermination de z^i sera ]-\pi/2, 3\pi/2[ ?

Posté par
verdurinre : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 22:00

La détermination principale de z^\mathbf i est un complexe, pas un intervalle de \R.

Par exemple on considère  (1+\mathbf i)^\mathbf i.

On a 1+\mathbf i =\exp\bigl(\frac{\ln 2}2+\mathbf i(\frac\pi4+2k\pi)\bigr) quelque soit k dans \Z.
Ici prendre la détermination principale revient à prendre k=0.

La détermination principale de (1+\mathbf i)^\mathbf i est donc : \exp\bigl(\mathbf i\frac{\ln 2}2-\frac\pi4\bigr)=\mathbf e^{-\frac\pi4}\bigl(\cos\frac{\ln2} 2+\mathbf i\sin\frac{\ln2} 2\bigl)

On peut prendre une autre détermination de 1+\mathbf i.
Par exemple  1+\mathbf i =\exp\bigl(\frac{\ln 2}2-\mathbf i\frac{7\pi}4\bigr)

On obtient alors une autre détermination de (1+\mathbf i)^\mathbf i  qui est \mathbf e^{\frac{7\pi}4}\bigl(\cos\frac{\ln2} 2+\mathbf i\sin\frac{\ln2} 2\bigl)

Posté par
Ranare : Détermination principale de z^n 15-08-21 à 23:07

Merci beaucoup !

Posté par
verdurinre : Détermination principale de z^n 16-08-21 à 10:46

Service

Une remarque supplémentaire : c'est l'utilisation d'une détermination (principale ou non ) qui fait perdre certaines propriétés des puissances.

Par exemple, en utilisant la détermination principale :

\mathbf i^{3\mathbf i}=\mathbf e^{-3\pi/2} \\ \bigl(\mathbf i^3\bigr)^\mathbf i}=\mathbf e^{\pi/2}
Soit deux résultats très différents.

Posté par
Ranare : Détermination principale de z^n 16-08-21 à 12:16

Merci pour cette belle remarque !


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