Je suppose que X > 1, non?
X^d=
Posons m=dk et n=dl (k et l premiers entre eux)
Par suite -1 divise ^k-1 aussi bien que ^l-1 car ces deux expressions s'annullent pour =1
Donc -1 est bien un diviseur. C'est le plus grand car on a pris le plus grand d et si X >1 alors c'est aussi la plus grande valeur.

Soient m et n des entiers tels que m > n > 0 et d = pgcd(m,n).
Ona p = m/d * et q = n/d * donc X^m - 1 = X^pd - 1 = (X^d)^p - 1 et on voit que X^d - 1 divise X^m - 1.
De la même façon  X^d - 1 divise Xⁿ - 1 et donc aussi le pgcd unitaire D de  X^m - 1 et  Xⁿ - 1 .

Pour la réciproque : Si on divise m par n on obtient 2 entiers q et r vérifiant m =nq + r et 0 r < n . Si r = 0 on a : d = n et D = Xⁿ - 1 = X^d - 1 .
Supposons r > 0 .On a : X^m - 1 = X^nq+r - 1 = (X^nq - 1)X^r + X^r - 1 donc D divise X^r - 1 .
D divise Xⁿ - 1 et X^r - 1. On voit donc que D est le pgcd unitaire de Xⁿ - 1 et X^r - 1
On suit ainsi pas à pas la recherche de d par l'algorithme qui porte le nom d'un mathématiccien connu.
On arrivera à  : D divise X^d - 1

Pour bamboum : Il s'agit de polynômes . La notion de divisibilité pour des réels est réglée : est un corps

Merci pour cette réponse kybjm, mais comment sait-on que le dernier exposant sera effectivement d ?

Merci aussi à Bamboum