Il semble que n'existent pas a,b,n >1 tels que a^n - b^n soit un diviseur de a^n+b^n.
Je ne sais pas trop comment le prendre.

Pour n=2, j'ai essayé de montrer que ni (a-b) ni (a+b) ne sont diviseurs de (a^2+b^2). On trouve facilement des (a,b) tels que (a-b) divise a^2+b^2 (Il suffit de prendre (a-b)=1!). Pour (a+b), je peux toujours écrire que (a^2+b^2)=(a+b)^2-2ab et je suis ramené à montrer que 2ab n'est pas multiple de (a+b). Ce qui est manifestement faux. On a donc des (a,b) tels que (a-b) divise a^2+b^2 et des (a,b) tels que (a+b) divise a^2+b^2. Ce ne sont pas les mêmes! Il faut donc essayer autre chose.

Je ne sais comment m'y prendre. De plus, je pense que ce n'est pas difficile ...!