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dm complexe similitude suite

Posté par
olive10 01-10-08 à 18:21

Bonjour, voilà j'aurai besoin d'aide svp pour l'exercice suivant:

1)Soit lambda (que je vais noté ici L) un nombre complexe non nul.On considère la suite de nombre complexes S= (z(n))n E N(les 2 n en indice) définie pour n E N par la relation: V(quelque soit) n E N, z(n+1)= L(z(n))+i et par z(0)=0

a) exprimer zn en fonction de lambda ( L) et de n

Ici j'ai d'abord calculer z1 z2 z3 et z4: z1=i
z2=i(L+1)
z3=i(L+2)
z4=i(L+3)

b)2 termes de la suite S, d'indices différents peuvent-ils être égaux? Montrer que, dans l'affirmative la suite est périodique

Ici je suis complètement bloqué

c) Démontrer la relation z(n+2)=(1+L)*z(n+1)-L*z(n) pour tout n E N
Montrer qu'inversement toute suite complexe (zn)n E N vérifiant z0=0, z1=i et la relation précédente est égale à la suite S

Ici il me manque z(n) en fonction de L et n pour démontrer la relation sinon la 2eme partie j'ai pas très bien compris la démarche à effectuer pour démontrer ce qu'il demande

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:22

rectification pour z3 et z4: z3=i(1+L+L²) et z4=i(1+L+L²+L^3)

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:23

du coup j'en déduis zn mais je sais pas comment le démontrer:

zn=i* Somme(L^k) k=0..n-1

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:29

question c) finis à moitié j'ai démontré z(n+2)=(1+L)*z(n+1)-L*zn

Il me reste:  démontrer que zn=i*Somme(L^k)  k=0..n-1)

b)2 termes de la suite S, d'indices différents peuvent-ils être égaux?    Montrer que, dans l'affirmative la suite est périodique.

et   c)Montrer qu'inversement toute suite complexe (zn)n E N vérifiant z0=0, z1=i et la relation précédente est égale à la suite S

Posté par
franzre : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:40

Bonsoir,

tu pars mal
z_1=\lambda.z_0+i=\LARGE i
z_2=\lambda.z_1+i=\LARGE i(\lambda+1)
z_3=\lambda.z_2+i=\LARGE i(\lambda^2+\lambda+1)
z_4=\lambda.z_3+i=\LARGE i(\lambda^3+\lambda^2+\lambda+1)

Tu peux montrer par récurrence que \forall n\in{\mathbb N}\;,\;z_n=\{\array{cccc$n.i&\hspace{50}&si&\lambda=1\\&\\\frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}i&&si&\lambda\neq 1}\.

Je te laise continuer

Posté par
grouxre : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:42

oui dsl je l'avais réctifié:  Posté par Profilolive10 olive10

rectification pour z3 et z4: z3=i(1+L+L²) et z4=i(1+L+L²+L^3)


merci pour ton aide pr la récurrence je te tiendré au courant.

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 18:52

pour la récurrence condition initial vérifié mais par contre jarrive pas à montrer que si zn vraie alors z(n+1) vrai aussi

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 19:00

peut tu me donner une piste pour la démonstration par récurrence stp

Posté par
olive10re : dm complexe similitude suite 01-10-08 à 19:10

ca yest j'ai réussi la récurrence: quelqun pour m'aider pour la quest b) svp:  b)b)2 termes de la suite S, d'indices différents peuvent-ils être égaux? Montrer que, dans l'affirmative la suite est périodique

Posté par
franzre : dm complexe similitude suite 02-10-08 à 19:04

3$\underline{\bullet \rm{1^\circ cas}\quad\lambda=1}

On ne peut avoir n.i = m.i avec m\neq m

3$\underline{\bullet \rm{2^\circ cas}\quad\lambda=0}

La suite est stationnaire tous les termes valant  i dès le 1° terme.


3$\underline{\bullet \rm{3^\circ cas}\quad\lambda\notin\{0,1\}}

\array{ccc$\frac{\lambda^n-1}{\lambda-1}=\frac{\lambda^m-1}{\lambda-1} & \Longleftrightarrow & \lambda^n=\lambda^m \\ & \Longleftrightarrow & \lambda^{n-m}=1

Donc \lambda est racine n-m^\circ de l'unité donc la suite est périodique.


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