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Niveau Maths sup
DM1 Nombres complexes
Posté par darkelend
Bonjour à tous, dm a rendre pour mardi et 2 exercices ou je reste bloqué : (merci d'avance pr votre aide)
Ex2: Développer (z+|z|)² en partant de la forme algébrique de z
En déduire une expression des racines de z dans le cas où z
\
-
Alors ce que j'ai fait pour le moment : ( développé quoi :p )
on écrit z sous la forme z=x+iy
(x+iy+|x+iy|)²=x²+ixy+x|x+iy|+ixy-y²+iy|x+iy|+x|x+iy|+iy|x+iy|+|x+iy|²
=2x²+2ixy+2x|x+iy|+2iy|x+iy|
et j'arrive à : (x|x+iy|)(2x+2iy)
Je reste bloqué la :S
Ex3:
1.(a) Montrer que si : {le système} :{ x+y+z=a ; xy+yz+zx=b ; xyz=c }
alors x,y et z sont solutions de l'équation : Z^3-aZ²+bZ-c=0
(b) Trouver x,y et z si on suppose a=b=0 et c=-8
2. Résoudre le système : {x+y+z=4 ; x²+y²+z²=4 x^3+y^3+z^3=1 }
Pour lex3 1.a. Pour z=x
a=2x+y
b=2xy+x²
c=x²y
on remplace dans Z on obtient bien 0 de meme pour z=y , les formules sont symétriques
(b)Z^3+8=0 donc Z^3=-8
les couples sol. sont donc (-2;2;2) ; (2;-2;2) ;(2;2;-2)
2.jen suis a : (x+y+z)²=...
je cherche xy+yz+zx=...
et xyz=...
Ben c'est ce que j'ai fait pour l'ex 2 d'ailleurs les y² disparaissent ainsi mais j'arrive avec ca ca mène à rien : x|x+iy|)(2x+2iy) d'ailleurs je vois pas trop coment faire pour En déduire une expression des racines de z dans le cas z\
-
L'ex 3 jai bien avancé merci
bonsoir,
EX3)je ne comprends pas pourquoi tu fais x=z?
tu connais les relations entre les coefficients d'une équation de degré 3 et ses solutions??
sinon tu écris que (Z-x)(Z-y)(Z-z)=0
en développant tu obtiens
Z3-(x+y+z)Z²+(xy+yz+zx)Z-xyz=0
donc si x+y+z=a,(xy+yz=zx)=b etxyz=c x,y,z sont solutions de Z3-aZ²+bZ-c=0
b)dans ce cas l'équation devient Z3=-8=-(2)3
on travaille dans C les solutions sont les racines cubiques de -8
il y a évidemment-2 les autres sont -2j et -2j²
on ne peut pas avoir 2,2,-2 ,a=0 donc la somme des racines est nulle et avec ce résultat elle vaut 2
pour la question suivante
en développant (x+y+z)²=16 tu vas trouver xy+yz+zx
ensuite tu développes (x+y+z)3=64
je reprends ex1
je trouve(z+|z|)²=2(x+|z|)(x+iy)=2(x+|z|)z (1)
dans ton rèsulat il doit manquer un + : (x+|x+iy|)(2x+2iy)
si z n'est pas réel y est non nul => u=x+|z|>x+|x|
0 donc on peut diviser les deux membres de (1) par u=x+|z|
on a donc sauf erreur de calcul de ma part
z=(z+|z|)²/u
les racines carrées de z sont celles du membre de droite
Merci beaucoup pour ton aide veleda. z peut être réel mais uniquement positif donc y peut être nul dans l'ex3 mais cela ne pose pas de soucis.
Pour l'ex 1 j'ai trouvé xyz=17/3 en espérant ne pas m'être trompé 
oui c'est vraiment jouer sur les mots la ^^ , allé en bonus un nouveau petit exercice 
: Caractériser les nombres complexes z appartenant aux ensembles suivants :
