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Equation

Posté par
sami-dh 28-04-09 à 20:54

Salut à tous

je reviens avec un autre exo d'arithmétique,et j'aimerai quelques indications

soit t un entier naturel qui n'est pas divisible par 7.
montrer que l'un des nombres t^2-1 et t^2-2 et t^2-4 est divisible par 7.

J'ai pu réousdre la question à l'aide d'un tableau dans 7/7Z.

2)déduire que si m et n sont deux entiers que 7 ne divise pas et tel que n^2+m^2 est un carré parfait alors m^2-n^2 est divisible par 7.

voici comment j'ai fait:
Si d est un carré parfait alors dans 7/7Z \bar{d}\in\{\bar{0};\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}\

donc \bar{m}^2+\bar{n}^2\in\{\bar{0};\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}\
alors les cas possibles à l'aide d'un tableau sont
\bar{m}^2=\bar{0}\ et\ \bar{n}^2=\bar{0} mais c'est pas possible puisque 7 ne divise ni n ni m.
Après un raisonnement analogue à propos des autres cas j'arrive à.
(\bar{m},\bar{n}) \in\{\(3,3);(3,4);(4,4);(4,3);(1,6);(6,1) \{\

donc après les calculs je trouve le nombre m²-n² toujours divisible par 7.

mais le problème c'est qu'on nous a demandé de déduire,mais j'ai pas utilisé la question précédente,donc je suis convaincu qu'il y a une autre méthode.

Merci pour votre aide

A+

Posté par
J-Rre : Equation 28-04-09 à 21:05

bonsoir,

7 ne divise pas m et n

en fait ce qu'il suffit de mq :

si m^2-1 est divisible par 7

alors, nécessairement,

n^2-1 est divisible par 7.

(ce sera idem pour le cas avec m^2-2 et m^2-4).

en effet,

m^2-1\equiv 0 [7]

si n^2-2\equiv 0 [7] \ alors \ m^2+n^2\equiv 3 [7] (ça foire car carré parfait)

n^2-4\equiv 0 [7] \ alors \ m^2+n^2^\equiv 5 [7] (ça foire car carré parfait)

donc nécessairement c'est n^2-1 qui est divisible par 7 : ok

sauf maladresse ...

@+

Posté par
sami-dhre : Equation 28-04-09 à 21:19

Ah oui
J'ai pas vu les choses comme ça,je croyais qu'il fallait traiter 9 cas..

mais maintenant je comprends comment faire

Merci beaucoup  J-R

A+


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