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Niveau Maths sup
Equation à coefficients compléxes de degrè 3
Posté par akkyn
Bonjour.
Je vous donne l'énoncé du problème :
Soit l'équation (E) : z3 - (6+3i)z² + (9+12i)z - 9(2+3i) = 0
1. Montrer que (E) admet une unique solution imaginaire pure z1 et déterminer cette solution.
2. Déterminer les deux autres solutions z2 et z3 de (E).
Je n'arrive pas à trouver le moyen de faire la question 1. J'ai penser à déterminer les variations du polynôme puis ensuite avec le TVI démontrer que la solution imaginaire pure est unique. Mais je ne sais pas trop comment faire, du fait que les coefficients soient complèxes.
Pour la question 2, si jamais j'ai z1, je pourrais exprimer le polynome comme :
(E) : (z-z1)(z² + az + b ) = 0
Mais pour cela j'ai besoin de la question 1...
Est-ce que quelqu'un à une idée ?
Merci d'avance
Bonjour
Si z est imaginaire pur alors il peut s'écrire z = ib avec b réel.
Tu remplaces z par ib dans l'équation.
Tu calcules et sépares ta partie réelle de ta partie imaginaire.
Tu dois arriver sur un système d'équations à résoudre.
En posant z=ib l'équation devient :
(6b2-12b-18) + i(-b3+3b2+9b-27)=0
Un nombre complexe est égal à 0 si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Donc on cherche les valeurs de b qui annulent simultanément la première et la seconde parenthèse ...
Merci beaucoup.
Cependant je ne vois pas trop comment justifier l'unicité de la solution imaginaire pure.
En faisant ce que tu m'as conseillé plus haut, je peux déterminer cette solution, mais pas justifier son unicité ...
Le système suivant :
admet une unique solution b = 3
Comme toute solution imaginaire pure de l'équation de départ doit vérifier le système ci-dessus ...
Ok.
J'ai un autre soucis maintenant.
J'obtiens donc que (E) : (z-3i)(z²-6z+(9-6i))=0
Ainsi lorsque je veux résoudre l'équation :
z²-6z+(9-6i)=0
J'obtiens le discriminant 
=24i
et pour les racines de 24i : 
24
ei
/4 et -24ei/4.
Je ne sais pas si ces racines sont correctes puisque lorsque je détermine les solutions de l'équation, j'obtiens :
z2=(6+24ei/4)/2
Z3=(6-24ei/4)/2
Or lorsque je remplace dans l'équation, j'obtiens bien 0 pour z3 mais pas dans la grande équation de départ, et je n'obtiens pas 0 pour z2.
Ca fait environ 1 heure que j'essaie de comprendre pourquoi mes résultats ne collent pas, mais je n'arrive pas à la solution.
Aides moi silteplaît 
Les racines de 24i sont correctes.
En revanche, tu as oublié deux "candidats" pour les racines de z2-6z+(9-6i).
Lorsque tu as trouvé les racines r1 et r2 de , les deux racines cherchées sont parmi les candidats suivants :
(-b-r1)/2a
(-b-r2)/2a
(-b+r1)/2a
(-b+r2)/2a
Dans ton exercice, tu vas trouver que Z3 est racine double !
Mais pourtant je trouve deux fois les mêmes racines,
z2=(6+24ei/4)/2
z3=(6-24ei/4)/2
z4=(6-24ei/4)/2
z5=(6+24ei/4)/2
Ralala je comprends pas 
Pourquoi veux- tu que les deux racines cherchées soient différentes ?
Tes deux racines sont Z3 et Z4
Dans ce cas, on a Z3=Z4 (les deux solutions sont confondues).
Ta racine est double.
Z2 et Z5 sont des solutions à rejeter puisqu'elles ne vérifient pas l'équation du départ (de toute façon on a déjà nos deux solutions)
Dans ce cas l'équation admet deux solutions confondues.
Ainsi l'équation de départ n'admet que deux solutions : z1 et z3 ?