Bonjour,

Si   n  est  le rapport considéré supposé fixé. Soit  (x ,y ) une solution à coordonnées >0  où  x  est minimal . Regarde  (y,x)  et (y-nx, x) ....

Merci de cette indication ; j'avais constaté effectivement que si (x,y) remplit la condition avec n=(x2 + y2)/(1+xy) il en est de même pour (x,nx-y) ; mais je n'avais rien pu en déduire ; je vais explorer la piste (y-nx,x) vs (y,x).

Je crois avoir finalement trouvé une réponse assez simple à mon problème puisque'elle ne nécessite que des maths du niveau de la classe de seconde...
Je viens de la mettre sur un de mes sites ; on accède directement à cette solution par le lien suivant :
http://f6fqx.chez-alice.fr/maths_de_9_a_99_ans/068%20_%20une_diophantienne/diophantienne_exemple_1.htm
Je reste preneur de solutions plus élégantes que celle-là.
Encore merci à tous.
f6fqx35

Bonjour

Tu affirmes que n'est pas un carré parfait, à la fin du cas n°2. Mais ce n'est pas toujours vrai. Par exemple, si a = 30 et b = 8, = 2704 = 52².
D'ailleurs dans ce cas, n = 4 et donc n n'est pas égal à a².

La piste de lolo217 me semble intéressante.

Cordialement
Frenicle

Par ailleurs, il faut se limiter aux entiers naturels :
Si x = -2, y = 1, x² + y² = 5, 1 + xy = -1 et (x² + y²)/(1 + xy) = -5 n'est pas un carré parfait.

oui, je continue un peu :  si (x,y )  est solution en entier naturel >0 avec  x>0 minimal comme  (y,x)  est aussi solution   x =< y  et de même comme (nx-y,x)  reste solution
si nx-y > 0  c'est que  nx-y >= x .
Mézalors   n xy-y² >= xy  soit encore
x²-n >= xy  d'où  xy -n >=  xy  absurde donc  nx-y =< 0

Je réponds à frenicle :
En effet, ma démonstration est fausse car la condition que je donne sur Delta est suffisante, mais pas nécessaire. Ce n'est pas brillant de ma part...
On le voit par exemple en prenant x=112 et y=418
En ce qui concerne la piste offerte par lolo217, j'avoue ne pas voir où elle mène.
J'ai essayé d'utiliser les propriétés des carrés parfaits modulo 8 qui valent 1 quand le nombre est impair et 0 ou 4 quand il est pair, mais j'aboutis encore à une indétermination.
Je vais continuer à chercher.

Rebonjour à tous,
Je pense avoir finalement trouvé la solution à mon exercice de divisibilité, en faisant un raisonnement de type descente infinie. Je l'ai mise sur mon site maths perso à l'adresse suivante :
http://f6fqx.chez-alice.fr/maths_de_9_a_99_ans/068_divisibilt%E9_de_a2+b2_par_1+ab/_1+ab__divise__a2+b2_.pdf
Merci à lolo217 de m'avoir mis sur la voie.
Merci à tous les autres qui se sont manifestés.

Je rectifie l'adresse à laquelle j'ai mis la solution du problème posé ; la bonne adresse est la suivante :
http://f6fqx.chez-alice.fr/maths_de_9_a_99_ans/068_divisible/divisible.pdf
A bientôt
f6fqx35