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Niveau Maths sup
équation diophantienne(résolution génrale)
Posté par robby3
Bonsoir, j'ai un gros soucis avec cet exo:
Citation :
soient a et b naturels non nuls et premiers entre eux
pour tout entier c fixé,on considere
ou x et y sont dans Z.
1)Montrer que quel que soit l'entier c,l'équation admet des solutions dans Z(ça ok)
2)montrer que si)
est solution de l'équation alors pour tout k dans Z,)
est également solution(ça ok)
en déduire que pour tout eniter c,l'équation admet une solution tq 
3)En déduire que si
l'équation admet au moins un couple de solution (x,y) d'entiers positifs ou nuls
4)Montrer que si
l'équation n'a pas de solution pour 
naturels
soient a et b naturels non nuls et premiers entre eux
pour tout entier c fixé,on considere
1)Montrer que quel que soit l'entier c,l'équation admet des solutions dans Z(ça ok)
2)montrer que si
en déduire que pour tout eniter c,l'équation admet une solution
3)En déduire que si
4)Montrer que si
>donc en fait question 2) l'ingalité ressembble à l'inégalité que l'on trouve dans un reste de division euclidienne,mais je ne parviens à rien de bon!
une idée?
on peut choisir y à un multiple de a pres donc en divisant dans une solution particuliere (x,y) y par a on obtient le reste de la division y-qa qui est encore solution avec x+qb
Bonsoir Apaugam, je suis pas sur d'avoir pigé...
on a solution:
.
on divise alors y par a là-dedans?
j'ai 
Citation :
en fait il veut dire que si y=qa+r, alors (x+qb,r) est encore solution.
en fait il veut dire que si y=qa+r, alors (x+qb,r) est encore solution.
>elle
oui ça ok!!mais tu vois l'encadrement??
Si tu as un "y" qui convient tu en as un autre c'est y'= y-a, ety+a Donc si tu mets ton y au pif dans N tous les multiples de a tu en as un autre MAIS entre 0 et a-1 il y a "a entiers" donc forcément un de tes y'
au cas où c'est pas clair : un y convient s'il y a un x tel que (x,y) est solution. ici tu laisses tomber les conditions sur x pour pouvoir en fixer une sur y .
Salut Lolo!
Citation :
Si tu as un "y" qui convient tu en as un autre c'est y'= y-a, ety+a
Si tu as un "y" qui convient tu en as un autre c'est y'= y-a, ety+a
>oui
Citation :
Donc si tu mets ton y au pif dans N tous les multiples de a tu en as un autre MAIS entre 0 et a-1
Donc si tu mets ton y au pif dans N tous les multiples de a tu en as un autre MAIS entre 0 et a-1
>c'est ça que je comprend pas!
(je reviens dans 10 minutes)
Citation :
les entiers modulo a sont représentés par 0,1,..., a-1
les entiers modulo a sont représentés par 0,1,..., a-1
>et y-ka représente tout les entiers y modulo a...c'est ça?
Citation :
au cas où c'est pas clair : un y convient s'il y a un x tel que (x,y) est solution. ici tu laisses tomber les conditions sur x pour pouvoir en fixer une sur y .
au cas où c'est pas clair : un y convient s'il y a un x tel que (x,y) est solution. ici tu laisses tomber les conditions sur x pour pouvoir en fixer une sur y .
>en fait,c'est le mélange de ça et ça
Citation :
Donc si tu mets ton y au pif dans N tous les multiples de a tu en as un autre MAIS entre 0 et a-1
Donc si tu mets ton y au pif dans N tous les multiples de a tu en as un autre MAIS entre 0 et a-1
que je pige pas...
c'est pas clair chez moi
bon bon...!!!
je vais revoir ma leçon 33 et je reviendrais après si je me suis pas endormi d'ici là!
oui c'est ça (message de 20H51)
Cet exo s'appelle le "coin exchange problem" si tu as que des pièces de 2 euros et de 7 euros *** tu peux faire toutes les sommes (on te rend pas la monnaie !) à partir de 2x7 -2-7+1 = 6 euros .
ps : c'est pour ça que y a pas que des pièces de 2 et 7 euros !
en d'autre terme { y+ka / k dans Z } = classe de y
et Z/aZ peut être représenté par 0,1,.., a-1
remarque : le même principe te dis qu'il y a une solution (x,y) où
y est dans l'intervalle -(a-1)/2 , (a+1)/2 (et entier).
en fait si on fait la division euclidienne c'est encore plus clair :
y =ka+r et 0=<r < a donc d'après ta question 2 (x+ka, r) est solution
(c'est ce que apaugam disait plus haut)
Re,
oui je suis ok mais ça:
Citation :
y =ka+r et 0=<r < a donc d'après ta question 2 (x+ka, r) est solution
y =ka+r et 0=<r < a donc d'après ta question 2 (x+ka, r) est solution
>comment ça te dit que y est inferieur ou égale à a??
sinon c'est ok,j'ai compris ce que tu as expliquée
Citation :
y =ka+r et 0=<r < a donc d'après ta question 2 (x+ka, r) est solution
je reprends
on sait qu'il y a des solutions
soit (x0,yO) une des solutions
effectuons la division euclidienne de y0 par a
y0=aq+r avec 0<=r<=a-1
pour k=q je sais que (x0+kb,y0-ka)=(x0+qb,r) est également solution
x=x0+qb et y=r est la solution cherchée
d'accod!!
je crois que j'ai bataillé pour rien...
quand on est <a on est
a-1!!
Merci Apaugam!
pour la suite donc:
on a ça:
faut que j'en déduise qu'il existe au moins une solution (x,y) d'entiers positifs ou nuls...
une idée?
il suffit d'écrire ax=c-by>=c-b(a-1)> ....
et de se rappeler qu'il n'y a pas beaucoup d'entiers négatifs plus grd que -1 !
humm
on écrit ça:
donc
d'ou
des entiers négatifs plus grand que -1,y'en a pas donc forcément x est superieur ou égale à 0...
d'ou la réponse,
on a au moins et
solution de l'équation...
si je raisonne pareil pour la question 4)
j'ai:
donc or on vient de voir que x>-1 pour qu'il y ait au moins une solution donc pour x\ge -1,y'a pas de solution avec (x,y) des entiers naturels.
ok?