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Niveau Maths sup
équation du second degrés et complexes
Posté par seb44
Bonjour à tous,
J'ai un DM pour un lundi et je bloque sur quelques questions.
Voici la 1ere:
Soit l'équation z²-2
z+1=0, dont les solutions sont notées z1 et z2.
On vient de montrer que ²-1=(2sin
)e^(i(+(
/2)))
et on me demande alors, sachant que 
]-;[, de déduire, suivant les valeurs de , les modules et arguments de Z1=z1- et Z2=z2-.
J'ai commencé par factoriser l'égalité afin de faire apparaître une identité remarquable de la forme a²-b²:
on a z²-2z+1=0 (1)
(1) 
(z-)²-(²-1)=0
(1) (z-)²-(2sin)e^(i(+(/2)))=0
(1) [z--(
(2sin))e^(i((/2)+(/4)))] [z-+((2sin))e^(i((/2)+(/4)))]
seulement arrivé ici je ne vois plus trop comment faire...alors je me suis dit qu'un point de vue extèrieur serait surement bénéfique 
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour.
En utilisant l'égalité : , on voit que
. Il en est de même pour
.
et
sont les deux <<racines carrées>> de
.
On peut alors utiliser le résultat si
Il faut quand même faire attention au signe de
Si je vous suis bien vous voulez dire qu'on peut alors utiliser les propriétés des racines n-ièmes d'un nombre complexe, à savoir en l'occurence que comme Z1 et Z2 sont les racines carrées de ²-1, ils sont de la forme:
Zk=(2sin)e^(i(/2 + k)) k entier compris entre 0 et 1.
On aurait alors Z1==(2sin)e^(i(/2))
et Z2==(2sin)e^(i(/2 + ))
Seulement comme vous l'avez remarqué, étant compris entre - et , sin est négatif pour ]-,0[. Donc comment faire??
c'est ce que j'avais déduit pour les modules et les arguments, mais justement pour sin<0, à quoi sont égaux Z1 et Z2? et pour sin>0, Z1 et Z2 ne sont pas égaux: leur argument varit de ...non? Car c'est ce que vous semblez avoir écrit.
Si je récapitule, on a donc:
pour ]-,0[:
Z1=(-2sin)e^(i(/2+3/2))
Z2=(-2sin)e^(i(/2+5/2))
et pour ]0,[:
Z1=(2sin)e^(i(/2+/4))
Z2=(2sin)e^(i(/2+3/4))
dans les 2 cas les modules sont égaux et les arguments varient de
Est-ce bien cela?
Ok merci beaucoup pour votre aide.
J'ai une petite hésitation sur une question précédente, si jamais vous avez le temps :
on a posé =e^(i), et on me demande de montrer:
-que z1 et z2 sont réels si et seulement si 
0()
-que z1 et z2 sont imaginaires purs si et seulement si /2()
Comme il s'agit d'une équivalence, je montre que chaque assertion implique l'autre:
si z1 et z2 sont réels, alors leur somme est réelle
or z1+z2=2e^(i), donc 2e^(i) est réel
d'où arg(2e^(i))0()
soit 0()
etc etc
Ou je peux travailler par équivalence, mais je ne sais pas si cela fonctionne:
z1 et z2 sont réels (1)
(1) z1+z2 réel
or z1+z2=2e^(i)
d'où (1) 2e^(i) réel
(1) 0()
Voilà je ne sais pas si c'est la bonne méthode et j'aurais donc voulu avoir votre avis 
Merci d'avance.