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équation et complexes

Posté par
marti 03-09-09 à 20:36

Bonjours à tous!
Voilà le petit problème que je rencontre :
Résoudre : cos(x)= i .(i = le nombre complexe)

Merci de vos lumières! Car là j'avance pas du tout

Posté par
Sai-kunre : équation et complexes 03-09-09 à 20:43

Bonjour,

cos(x)=\Re(e^{ix})

3$i=e^{i\fr{\pi}{2}}

... à toi

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 03-09-09 à 20:44

Bonsoir.

cos(x) \ = \ \fra{exp(ix)+exp(-ix)}{2}

Posté par
Sai-kunre : équation et complexes 03-09-09 à 20:49

Bonsoir raymond,

Je laisse.

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 20:53

ah ok alors j'ai fait comme ça:
cos(x)=i
donc : Re(e^(ix))=e^(i/2)
donc : cos(x)=cos(pi/2)
d'ou : x=pi/2 [pi]

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 03-09-09 à 20:53

Bonsoir Sai-kun.

Bonne soirée.

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 20:56

mon raisonnement est-il correct?

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 20:58

ah non désolé pas modulo pi mais modulo 2pi!

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 03-09-09 à 21:03

Ecris plutôt cos(z) = i

4$\textrm\fra{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = i

Pose Z = eiz

Tu trouves une équation du second degré en Z qui te donne deux solutions complexes u et v

Ensuite tu résous eiz = u ou eiz = v

Pour cela pose : z = a+ib.

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 21:32

D'accord et là je trouve :
Z1=i(1-\sqrt{2})
et : Z2=i(1+\sqrt{2})

Je résouts :
e^{ix}=i(1+\sqrt{2})
Donc ; sin(x)=1+\sqrt{2}

Mais là ça me semble bisard...

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 21:35

Enfin, il y a aussi l'autre solution mais celle-ci me semble bisard.. Je vérifie si j'ai fait des fautes de calculs

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 21:44

Non, là je vois pas mon erreur^^

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 03-09-09 à 21:50

Bien Donc, tu as à résoudre maintenant :

3$\textrm (I) : e^{iz} = (1+\sqrt{2})e^{\fra{i\pi}{2}}

3$\textrm (II) : e^{iz} = (1-\sqrt{2})e^{\fra{i\pi}{2}} = (\sqrt{2}-1)e^{-\fra{i\pi}{2}}

La partie droite est sous la forme rei r > 0.

Ecrivons la partie gauche de la même manière : eiz = ei(a+ib) = e-b.eia

3$\textrm (I) : e^{-b}e^{ia} = (1+\sqrt{2})e^{\fra{i\pi}{2}}

3$\textrm (II) : e^{-b}e^{ia} = (1-\sqrt{2})e^{\fra{i\pi}{2}} = (\sqrt{2}-1)e^{-\fra{i\pi}{2}}

Donc :

3$\textrm (I) : e^{-b}e^{ia} = (1+\sqrt{2})e^{\fra{i\pi}{2}}\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ e^{-b} = (1+\sqrt{2}) \ et \ a = \fra{\pi}{2} + 2k\pi\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ b = -ln(1+\sqrt{2}) \ et \ a = \fra{\pi}{2} + 2k\pi

3$\textrm (II) : e^{-b}e^{ia} = (\sqrt{2}-1)e^{-\fra{i\pi}{2}}\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ e^{-b} = (\sqrt{2}-1) \ et \ a = \fra{-\pi}{2} + 2k\pi\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ b = -ln(\sqrt{2}-1) \ et \ a = \fra{-\pi}{2} + 2k\pi

En remarquant que 2$\textrm\sqrt 2-1 et 2$\textrm\sqrt 2+1 sont inverses, on a finalement :

3$\textrm\fbox{z = \fra{\pi}{2} + 2k\pi + i.ln(\sqrt{2}-1) \ ou \ z = \fra{-\pi}{2} + 2k\pi + i.ln(\sqrt{2}+1)}

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 21:57

Waou! Merci beaucoup, je n'avais pas utilisé tous les indices à bon escient! Mais je pense que je n'aurais pas fais aussi bien... Allez, au boulot, la prépa , c'est ça lool !

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 03-09-09 à 21:59

Tu es en quelle prépa ?

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 22:15

Je suis en MPSI à Michelet

Posté par
martire : équation et complexes 03-09-09 à 22:18

Lycée Michelet de Vanves à 1km de Paris, là ou notre "cher" ministre a choisi de faire sa visite hier

Posté par
raymond Correcteurre : équation et complexes 04-09-09 à 00:19

L'exo est intéressant, mais se rencontre plutôt dans le cadre de l'analyse complexe.


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