Tu ne peux pas substituer comme ça sans réfléchir.
, ça va tu trouves -1/12, mais t'amène à une singularité. Il s'agirait de montrer que le tend assez vite vers 0 pour empêcher son produit avec la fonction de diverger quand s tend vers 2.

Ca fonctionne en l'occurence, grâce à la formule d'Euler : https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_formula .

Le produit s'écrit aussi
Le dernier quotient se simplifie parce que .
Au final quand s tend vers 2 il ne reste que . Le - vient annuler celui de et donc cette formule nous dit, par continuité de la fonction en 2, que

Ok je vois, pour moi c'est quand même trompeur, car sur wikipedia il est dit que cette formule est valable pour tout complexe différent de 0 et de 1, mais j'ai lu que grossièrement en faisant tendre s vers 0, on pouvait prolonger de manière holomorphe en 0, et cette méthode s'applique aussi pour les valeurs de s entier >1 comme tu viens de me le montrer pour s=2. Donc quitte à préciser pour 0 autant le faire pour 2,3...  à cause des poles de . A moins que j'ai raté qlq chose

Ca dépend de l'ordre choisi par l'exposé. Si tu sais déjà que la fonction zeta a un pôle simple aux entiers négatifs et que a un pôle simple aux entiers positifs, alors tu peux en déduire que cette formule est vraie sur tout le plan complexe, par prolongement méromorphe.

Réciproquement, si tu ne le sais pas, alors en prouvant cette formule tu peux en déduire que les pôles sont simples.