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Equation nombres complexes

Posté par
Bandicootz 01-02-23 à 19:39

Bonsoir,

Je ne me suis jamais réellement confronté à ce cas quant à la résolution des équations dans l'ensemble des complexes, à moins qu'il s'agisse d'une erreur d'inattention dans mes calculs.

La voici :

z = 2+|z|²(1+i)+ z̅  ² = i

(a+ib)² + (\sqrt{(a²+b²)}(1+i) + (a-ib)² = i \\ a² + ib² + 2aib + (a² + b²)(1+i) + a² + ib² - 2aib = i \\ 2a² - 2b² - i = 0 \\ 2(a² -b²) - i = 0

Avec 2(a² -b²) la partie réelle et i la partie imaginaire, de ce fait les deux parties doivent être égales à 0 soit 2(a² -b²) = 0 , mais pour i je suis un peu pris de court, je vois mal écrire que -1 = 0

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:03

salut

que vient faire ce "z = " au début ?

et où est passé le 2 ensuite ?

Posté par
Ulmierere : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:05

Il voulait écrire z^2 + |z|^2(1+i) + \bar{z}^2 = i, je pense

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:07

Oops, désolé. Oui l'équation est bien celle qu'a rectifié Ulmiere

Posté par
Ulmierere : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:11

Dans ce cas, comme toujours quand tu as une équation de la forme u^2 + (truc) + v^2, essaie d'y faire apparaître (u+v)^2 ou (u-v)^2

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:28

Ça m'est venu à l'idée, mais je ne vois pas ce que cela aurait rapporté

2(a²-b²) - i = 0 \\ 2(a-b)² - i = 0 \\ 2(a² + b² - 2ab) - i = 0

A moins que je me trompe?

Posté par
Ulmierere : Equation nombres complexes 01-02-23 à 20:30

Ton calcul est effectivement faux, le carré de i est -1 et non i

Je parlais de l'expression z^2 + |z|^2(1+i) + \bar{z}^2, sans écrire z = a+ib

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 21:08

Désolé, je n'aurais pas à saisir ce que tu tentes d'expliquer, comment j'en viendrai à factoriser l'expression?

Posté par
carpediemre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 21:11

ok ... dans un tel cas : présence de la variable z, son conjugué et son module alors dans un premier temps on peut poser effectivement z = a + ib ...

il faut cependant mener les calcul proprement ...

ensuite on peut utiliser plus pleinement les propriétés des complexes  pour ne pas avoir besoin de la forme algébrique ...

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 21:13

Je n'arrive pas*
hormis le fait de procéder à la distributivité dès le début pour |z|² ce qui m'amène à l'annuler et à réduire mes calculs initiaux, factoriser me paraît improbable

Merci d'avance

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 21:16

Merci carpediem pour ta réponse entre temps.

Dans le doute, justement, il faut que je mette l'ensemble des solutions sous forme algébrique

Posté par
carpediemre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 21:19

non tu peux !!

carpediem @ 01-02-2023 à 21:11

il faut cependant mener les calculs proprement ...


ensuite on verra une autre méthode ...

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 22:02

J'ai retenté quelque chose, mais je ne suis toujours pas sûr ce que j'avance. Après simplification de l'expression, j'obtiens celle-ci :

z²+|z|²+i(|z|² - 1) +\bar{z}²=0

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 01-02-23 à 22:02

De ce que j'avance* (décidément, j'ai du mal ce soir)

Posté par
Bandicootzre : Equation nombres complexes 02-02-23 à 00:14

Après avoir persisté, j'ai fini par trouver que l'ensemble des solutions est le cercle unité.

Je vous remercie tous les deux d'avoir pris la peine d'intervenir, bonne soirée

Posté par
Razesre : Equation nombres complexes 02-02-23 à 08:30

Bonjour,

Ta réponse semble fausse, vérifie avec z=i qui appartient au cercle unité.

Pose bien tes équations car tu en a oublié une.

Posté par
carpediemre : Equation nombres complexes 02-02-23 à 09:18

Bandicootz @ 01-02-2023 à 19:39

z2+|z|2(1+i)+ z̅2 = i

(a+ib)² + (\sqrt{(a²+b²)}(1+i) + (a-ib)² = i \\ a² + ib² + 2aib + (a² + b²)(1+i) + a² + ib² - 2aib = i \\

ces deux lignes sont fausses

z = a + ib

z^2 = ...
|z|^2 = ...
z*^2 = ...

(z* = conjugué de z)

puis remplacé proprement dans l'équation

Posté par
Razesre : Equation nombres complexes 03-02-23 à 00:22

Bonsoir,

Autre façon de faire (par étapes):

Posons: Z= z^{2}; Donc: \left| Z\right|=\left| z\right|^2;\bar{Z}=\bar{z}^2

L'équation devient: z\right|^2(1+i)+\bar{z}^2=i\Leftrightarrow Z+\left| Z\right|(1+i)+\bar{Z}=i

Puis posons: Z=\rho e^{i\theta } ; l'équation en Z devient plus facile à résoudre en \rho et en \theta et après tu calcule z à partir des valeurs de Z trouvées.

Posté par
lakere : Equation nombres complexes 03-02-23 à 00:42

Bonsoir,
Tant qu'à faire autant aller jusqu'à ce que capediem avait probablement en tête :

L'équation est équivalente à :

   \underbrace{z^2+\overline{z^2}+|z|^2}_{A}+i\underbrace{|z|^2}_{B}=i avec A et B réels.

Posté par
Ulmierere : Equation nombres complexes 03-02-23 à 12:05

Je ne sais pas si on avait la même idée ou deux choses un peu différentes

1 + 1i = z^2 + |z|^2(1+i) + \bar{z}^2 = (z+\bar{z})^2 - 2|z|^2 + |z|^2(1+i) = (2Re(z))^2 - |z|^2 + i|z|

Donc |z| = 1 et Re(z) = \pm \dfrac12.
Donc Re(z) = \pm \dfrac12 et Im(z) = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.


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