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équation trigonométrique

Posté par pmitride (invité) 31-10-06 à 13:33

Bonjour,

j'ai un devoir (, avec recherche d'angle. Après moults réductions,
je suis arrivé à:

cosθ - sinθ = √2

option 1:  cosθ = sinθ + √2
option 2:  cosθ - cos(π/2 - θ ) = √2

problème : je n'arrive plus à avancer pour trouver l'angle θ.

étant de niveau très moyen, j'ai avancé du mieux que j'ai
pu, mais je ne sais quel calcul peut m'amener jusqu'au bout.

merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 13:35

Bonjour,

Divise chaque membre par V2.
Reconnais à gauche un cos(a)cos(theta)-sin(a)sin(theta) où a = ...

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 14:34

hmm, c'est ça que je veux dire quand je dis que j'ai un niveau moyen
je progresse pas à pas, mais lentement.

avec les équations et équivalences autour du cercle, j'ai encore plus de
mal à visualiser. Est-ce :

(cosθ/√2) - (sinθ/√2) = 0

ce qui ne m'avance pas beaucoup, par quelle formule j'extraie θ de tout ça ?
Je ne vois pas d'où vient cos(a) ? je n'ai que θ.

merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 14:51

\cos\theta - \sin\theta = \sqrt{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta = 1
\cos\frac{\pi}{4}\cos\theta - \sin\frac{\pi}{4}\sin\theta = 1
\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = 1
Continue...

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 15:08

serait-ce :

θ = -cos(π/4) soit 38º

?

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 15:09

non ! j'ai oublié le 1...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 15:12

\cos\theta - \sin\theta = \sqrt{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta = 1
\cos\frac{\pi}{4}\cos\theta - \sin\frac{\pi}{4}\sin\theta = 1
\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = 1
\frac{\pi}{4}+\theta = \frac{\pi}{2}+2k\pi
\theta=...

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 15:18

désolé Nicolas,

merci de m'aider, mais ça me fait de la peine de ne pas comprendre. Je
n'ose même pas rendre cette partie de l'exercice.

Qu'est-ce que je dois apprendre pour passer de √2/2 à cos(π/4) ? Est-ce une table ?

Pour info, c'est un matrice de rotation d'un carré vers la droite. Le résultat devrait être -45º. Je sais que 45º sur le cercle c'est π/4 ou √2/2, mais je suis trop mauvais en calcul pour y arriver.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 15:25

cos(pi/4) = sin(pi/4) = (V2)/2 est un résultat du cours (cosinus et sinus usuels).

\cos (a+b) = \cos a \cos b-\sin a \sin b est un résultat de cours.

Je me suis trompé sur la fin.

\cos\theta - \sin\theta = \sqrt{2}
\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta = 1
\cos\frac{\pi}{4}\cos\theta - \sin\frac{\pi}{4}\sin\theta = 1
\cos\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = 1
\frac{\pi}{4}+\theta = \fbox{0}+2k\pi
\fbox{\theta=-\frac{\pi}{4}+2k\pi}

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 16:32

merci encore Nicolas,

j'ai retrouvé le tableau avec les équivalences
cos(pi/4) = sin(pi/4) = (V2)/2.

par la même occasion, on ne pourrait ps faire √2 = √2/2 + √2/2, et conclure que cosθ - sinθ = √2/2 + √2/2

soit

cosθ - sinθ = cos(pi/4)+ sin(pi/4) ?

avec θ, forcément = pi/4 ou -pi/4  ?

Merci encore.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 16:38

J'arrive à suivre jusqu'à :
cosθ - sinθ = cos(pi/4) + sin(pi/4)
En fait, il faudrait plutôt dire :
cosθ - sinθ = cos(-pi/4) - sin(-pi/4)
Mais on ne peut pas en déduire directement que θ = -pi/4 (même si cette conclusion est vraie !)
Il faudrait montrer que la fonction θ |--> cosθ - sinθ est injective, ce qui plus compliqué que ce que je t'ai proposé ci-dessus.

Posté par pmitride (invité)re : équation trigonométrique 31-10-06 à 16:46

ok, j'abandonne

merci pour l'aide, j'échange volontiers contre cours de langues, ou PHP/MySQL.

bonne soirée

P

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : équation trigonométrique 31-10-06 à 16:48

Je t'en prie.
Merci pour la proposition, mais je suis bénévole.


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