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Niveau Maths sup
Equations de Pythagore
Posté par charmuzelle
Bonjour
Je suis en train d'étudier la méthode d'Euclide pour trouver les solutions entières de l'équaton (E) x2+y2=z2
Je suis dans le cas où l'on suppose que x et y sont impairs et que pgcd(x,y,z) = 1
Le corrigé marque qu'alors z2 = x2 + y2 est congru à 2 modulo 4
Ce qui va contredire le fait que z soit pair donc z2 congru à 0 modulo 4.
Mais je ne comprends pas pourquoi z2 = x2 + y2 est congru à 2 modulo 4, ou comment démontrer qu'il ne peut être congru à 0 modulo 4.
Merci de vos éclaircissements ! Bonne après-midi.
Donc la somme de leurs carrés est congrue à 2 modulo 4 d'après les règles de calcul dans Z/4Z . Merci Rodrigo.
Bonjour,
Le but de votre exercice est de montrer que x et y ne peuvent pas être
impairs simultément.
En effet, supposons: x et y impairs (1).
x=2m+1 avec m€Z,
y=2p+1 avec p€Z.
z²=x²+y²=4(m²+p²+m+p)+2
z²=4M+2 (2).
Donc z² est pair.
Dans ce cas z est pair. Sinon nous aurions:
z=2q+1 puis z²=4q²+4q+1, or c'est impossible puis que z² est pair.
Donc z est pair:
z=2q,
z²=4q² (3)
Mais (2) et (3) sont incompatibles.Donc l'hypothèse (1) est fausse.
Il vous reste maintenant à étudier les cas où:
* l'un des nombres x est pair et l'autre impair.
* x et y sont pairs.
Amicalement.
Merci Galois
Le sujet et son corrigé sont sur ce lien : http://megamaths.perso.neuf.fr/frag/fragc/s2heqh0001.pdf
Je me posais juste la question sur la congruence à 2 modulo 2 pi
J'avais fait un problème semblable en juin dernier, et j'avais procédé alors un peu comme vous, j'aurais dû y penser aussi pour m'expliquer cette congruence.
Très bonne soirée.