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Niveau terminale
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Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli

Posté par
cami
27-08-10 à 09:53

Bonjour, j'ai un exercice concernant les propabilités qui me posent de nombreux problèmes, pourriez vous m'aider ?
voici l'énoncé :
Dans une démarche de marketing téléphonique, un agent doit chercher
à entrer en communication téléphonique avec n personnes présélection-
nées sur une liste. On admet que la probabilité de joindre une personne
donnée sur la liste est de  p (0<p<1)

Dans un premier temps, l'agent appelle les n personnes et on note X le
nombre de personnes effectivement contactée
1) Quelle est la loi de X ? Préciser son espérance et sa variance ?
[/i]Ici j'ai pensé à une loi de Bernouilli de paramètre p = X(nombre de personnes contactées) / n (nombre de personnes de la liste)
On aurait donc l'espérance qui serait : E(x) = p = X/n
et la variance qui serait : V(x) = pq = X/n * X!(nombre de personnes non contactées) / n


2)[i]
Par la suite, l'agent rappelle systématiquement les personnes qu'il
n'a pas pu joindre dans un premier temps, avec toujours la même
probabilité de succès. On note Y la variable aléatoire égale au nombre
de personne contactée dans cette deuxième phase
On suppose ici que  X=k  avec 0≤k≤n
Quelle serait alors la loi de Y ? En déduire la probabilité conditionnelle  PX=k (en indice) (Y= l-k) avec k≤l≤n  

[/i]Ici je pense que Y est une loi binomiale de paramétre p= X/n et de paramètre n (expérience repétée 2ème fois) . Par contre je ne sais pas trop comment je peux en déduire la propabilité conditionnelle .. [i]

3) Soit  Z=X + Y . Montrer que  :

P(Z=0) = (1-p)^(2n) et P(Z=1) = (npq^2n-2) (1+q) où q= 1-p

[/i]La aussi je coince totalement et ne sait pas comment faire . . [i]

Pourriez vous m'aider et me dire si le peu que j'ai deja fait est juste ? Merci d'avance.  (Par contre, j'aimerai finir l'exercice pour au plus tard demain donc si vous pourriez m'aider assez rapidement.. )

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 12:53

Bonjour,

Je te fais une proposition vu le succès.

1) C'est faux, tu as plusieurs expériences de Bernoulli. Donc, tu dois utiliser une loi binomiale de paramètre (n,p).
Pour tout k dans [|0,n|], P(X=k) = C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k).
E[X] = np
V[X] = np(1-p)

2) Cette deuxième phase étant indépendante (même p non fonction de X). On peut appliquer la même loi que 1).

Avec i : 0 <= i <= n-k, P(Y=i) = C(n-k,i)*p^i*(1-p)^(n-k-i).

En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-l)

En utilisant, la probabilité conditionnelle, P(X=k|Y=l-k) = P(X=k) car événement indépendant ne s'excluant pas l'un l'autre (avec la définition de l).

3) P(Z=0) = P(X=0 et Y=0) = P(X=0)*P(Y=0) = (1-p)^n*(1-p)^n = (1-p)^(2n)
P(Z=1) = P(X=0 et Y=1) + P(X=1 et Y=0) = P(X=0)*P(Y=1) + P(X=1)*P(Y=0) = (1-p)^n*C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,1)*p*(1-p)^(n-1)*(1-p)^(n-1) = np(1-p)^(n-1)((1-p)^n+(1-p)^(n-1) = np(1-p)^(2(n-1))*(1+1-p) = npq^(2(n-1))*(1+q). CQFD.

Voila

Posté par
cami
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 13:00

Ah merci de ton aide, enfin une âme charitable pour m'aider dans cet exercice J'ai bien tout compris ce que tu m'as expliqué, et oui pour la question 1) j'avais pensé au départ a une loi binomiale mais cela me paraissait bizzare qu'il redemande la même chose dans la 2nde question mais bon

la question suivante dont je n'arrive pas du tout à me sortir non plus est
Justifier l'égalité P(Z=l ) = ∑ avec k=0 jusqu'a l P(X=k) inter (Y= (l-k) ) pour 0≤ l ≤ n
En déduire P(Z= l) = ∑ avec k=0 jusqu'a 1 (l-k) parmi (n-k) * (k parmi n) * p^l * (1-p)^(2n-k-l) à l'aide de la formule des propabilités totales .
En déduire que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p(2-p) .

Je suis totalement bloquée, mais j'aimerai bien finir cet exercice , histoire de comprendre son fonctionnement et ensuite d'en refaire un du même style par la suite toute seule pour m'entrainer. Alors merci de votre aide

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 13:09

Euuh, vu la vitesse de réponse, on ne peut pas dire que tu aies réfléchi à ma correction.
Là, je vais juste t'aiguiller un peu.

Calcul moi la probabilité P(Z=2). En m'expliquant la démarche avec des mots.
Ensuite, donne moi P(Z=k) avec k dans [|0,n|] sous forme de somme.

Je t'ai donné pas mal d'indice.

Deux choses. Cet exo n'est pas niveau term, je pense (enfin, en principe oui mais je vois mal un prof donner ça). Tu dois être en L2 maths ou Prépa Eco, un truc du genre.
Sinon, je reviens vers 16h. Donc pas de réponse de ma part avant.

Courage !

Posté par
cami
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 14:57

En fait je sors de terminale et c'est des exercices destinées a ma rentrée en septembre (dans une semaine quoi .. !!!! ) à ma prépa BCPST.
Mais je n'ai jamais fait d'exercice comme ça par le passé et celui ci me parait très compliqué pour quelqu'un comme moi ayant deja a la base des difficultés en mathématiques ..

Avec tes indice j'en suis pas très loin en fait ..
P(Z=2) = P(Y=1 et X=1) + P(Y=0 et X=2) + P(X=0 et Y=2) = P(X=0)*P(Y=2) + P(X=1)*P(Y=1) + P(X=2)*P(Y=0)
=ahhahahahahaha je sais pas je m'embrouille et j'y arrive pas ;(  . Je crois que cet exercice est définitivement pas de mon niveau, même si pourtant je vais devoir y arriver prochainement .. Je desespere.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 15:11

Je comprends que tu galères un peu alors^^.

En ce qui concerne ta somme. C'est tout à fait juste.
Maintenant pour Z=2, remplace les P(X=i)*P(Y=j) par les expressions de la question 1) et 2).

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 19:22

Bonjour, j'ai le même exercice que Cami.
Concernant le message de Bolzmann_Solver à 12h53 je ne comprend pas concernant la question 2:

Citation :
la probabilité conditionnelle, P(X=k|Y=l-k) = P(X=k) car événement indépendant ne s'excluant pas l'un l'autre (avec la définition de l).

On doit en déduire la probabilité conditionnelle :
P(Y = l - k) sachant P(X = k). Je voulais appliquer la formule suivante :
P(Y = l - k) sachant P(X = k) = \frac{P(Y = l - k \cap X = k)}{p(X = k)} Je suis un peu perdu.
Ludovic

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 19:53

Bonsoir ludelu,

J'ai utilisé cette formule.

P X=k sachant Y=l-k = P(X=k|Y=l-k) = P(X=k n Y=l-k)/P(Y=l-k) = P(X=k)*P(Y=l-k)/P(Y=l-k) (Car V.A. indépendantes) = P(X=k)

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:05

Bonsoir Boltzmann_Solver
Ok je comprend mieux. Mais alors est ce que P(X=k)|y=l-k) est la même chose que p(Y=l-k|x=k)?. Pour moi non maisje ne suis pas sûr. En effet dans le premier message de cami lorsqu'il dit que x=k en indice c'est la condition.
Au final comi veut sûrement dire P(Y = l - k) sachant P(X = k). et non l'inverse.(j'en suis sûr à 99% car j'ai le même enoncé mot pour mot)
Maintenant si je suis ta méthodologie :
P(Y = l - k) sachant P(X = k) = P(Y = l-k)

Je suis en train de recopier au propre et juste pour me convaincre dans ton message de 12h53 dont l'extrait

Citation :
En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-l)

est ce que ça serait pas plustôt
P(Y=l) = C(n-k,l-k)*p^(1-k)*(1-p)^(n-k-(1-l)) = C(n-k,l-k)*p^(1-k)*(1-p)^(n-l)
En effet je ne retrouvais pas le (1-p) dans ton expression.

Merci d'avance.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:23

Citation :
Ok je comprend mieux. Mais alors est ce que P(X=k)|y=l-k) est la même chose que p(Y=l-k|x=k)?. Pour moi non maisje ne suis pas sûr. En effet dans le premier message de cami lorsqu'il dit que x=k en indice c'est la condition.
Au final comi veut sûrement dire P(Y = l - k) sachant P(X = k). et non l'inverse.(j'en suis sûr à 99% car j'ai le même enoncé mot pour mot)
Maintenant si je suis ta méthodologie :
P(Y = l - k) sachant P(X = k) = P(Y = l-k)


C'est juste, tu as bine compris.

(Tu peux me dire d'où vient le sujet, s'il te plait).

Citation :

Je suis en train de recopier au propre et juste pour me convaincre dans ton message de 12h53 dont l'extrait
Citation :
En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-l)

est ce que ça serait pas plustôt
P(Y=l) = C(n-k,l-k)*p^(1-k)*(1-p)^(n-k-(1-l)) = C(n-k,l-k)*p^(1-k)*(1-p)^(n-l)
En effet je ne retrouvais pas le (1-p) dans ton expression.

J'ai oublié un -k mis en gras mais sinon, je maintiens ma solution.

Avec i : 0 <= i <= n-k, P(Y=i) = C(n-k,i)*p^i*(1-p)^(n-k-i).

En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l-k) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(n-l)

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:28

Boltzmann_Solver

Citation :
Justifier l'égalité P(Z=l ) = ∑ avec k=0 jusqu'a l P(X=k) inter (Y= (l-k) ) pour 0≤ l ≤ n
En déduire P(Z= l) = ∑ avec k=0 jusqu'a 1 (l-k) parmi (n-k) * (k parmi n) * p^l * (1-p)^(2n-k-l) à l'aide de la formule des propabilités totales .


Pour la première partie de cette question est ce que je peux dire que k + l - k = l et par conéséquent toutes les combinaisons à deux élément de l seront de la forme (k, l-k) d'où le résultat demandé.

Ensuite pour la seconde partie voici ce que j'ai fait :
On sait que P(X=k) = C(n,k)*pk*(1-p)n-k et
P(Y=(l-k)) = C(n-k,l-k)*pl-k(1-p)n-l

Ensuite P(X=k) * P(Y=(l-k)) = C(n,k)*C'n-k,l-k)*pl*(1-p)2n-k-l CQFD

Pour la question suivante :
Citation :
En déduire que Z suit une loi binomiale de paramètres n et p(2-p)

Il manque une partie dans l'enoncé de cette question. On pourra vérifier : C(n,k)*C(n-k,l-k) = C(n,l)*C(l,k) et appliquer la formule du binôme de Newton.
Je te tiens au courrant sur mes recherches concernant cette dernière question.
Ludovic

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:30

En effet...

En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l-k) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(1-p)^(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(1-p)^(n-l)

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:31

Concernant ton message de 20h23, pourquoi le (1-p) disparaît?
Concernant ta question sur la provenance de l'exercice, il vient des cours d'été du CNED et le pire c'est qu'il y a 2 sujets? Un qui soit disant facile et un autre dure et cet exercice vient du 1er sujet à savoir soit disant facil. Et ce sont des devoirs d'été pour fin de terminal, entrée en supérieur.

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:31

Ok, je viens de lire ton dernier message? C'est bo pour moi

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:38

Boltzmann_Solver
Ce message fait suite à mon message de 20h28
Pour démontrer l'égalité : C(n,k)*C(n-k,l-k) = C(n,l)*C(l,k) j'ai penser à utiliser la formule avec le factoriel dont voici
C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} et C(n-k,l-k)=\frac{(n-k)!}{(l-k)!(n-l)! d'où C(n,k)*C(n-k,l-k) = \frac{n!}{k!(l-k)!(n-l)!

Ensuite
C(n,l) = \frac{n!}{l!(n-l)! et C(l,k) = \frac{l!}{k!(l-k)! d'où
C(n,l)*C(l,k) = \frac{n!}{k!(n-l)!(l-k)!l!}

L'égalité est presque vraie à un l! quel est mon erreur?
Ludovic

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:40

Pour ton dernier message. C'est bien ça. Après, je trouve le passage par les probabilités totales un peu extrème ici mais ça marche .

Sinon, tu peux me dire d'ou vient l'énoncé ?

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:41

Le 1-p a disparut a cause d'un copier coller malheureux.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:41

-t

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:44

Concernant la provenance de l'exercice il vient du CNED, voir mon message de 20h31.
Peut tu me dire ou est mon erreur concernant mon messge de 20h38
Ludo

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:46

Boltzmann_Solver,
Je viens de trouver mon erreur, cool.
Maintenant je dois faire le lien avec la formule du binôme de Newton.

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:53

Pour cette question je suis perdu je n'ai pas d'idée.
J'indique la toute dernière question de cette énnoncé en rappelant l'avant dernière:

Question 5 :
EN déduire que Z suit une loi binomiale de paramètre n et p(2-p). (On pourra vérifier : C(n,k)*C(n-k,l-k) = C(n,l)*C(l,k) et appliquer la formule du binôme de Newton)

Question 6 : la dernière ouf
Sachant que l'agent avait 100 personnes à contacter et après la dernière phase, il a obtenue 40 contacts, combien de personnes l'agent peut-il joindre en moyenne après ses deux phases d'appels.

Voilà, concernant la dernière question on peut en déduire que k = 40 mais après je ne sais pas trop.

Merci d'avance
Ludovic

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 20:58

Je commence à me perdre entre les posts. Pourrais tu m'envoyer le sujet (j'active mon mail) histoire que je le fasse.

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 21:06

OK

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 22:06

Je reprends tout. J'imagine que Cami sera contente...

1) C'est faux, tu as plusieurs expériences de Bernoulli. Donc, tu dois utiliser une loi binomiale de paramètre (n,p).
Pour tout k dans [|0,n|], P(X=k) = C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k).
E[X] = np
V[X] = np(1-p)

2) Cette deuxième phase étant indépendante de la première (même p non fonction de X=k). On peut appliquer la même loi que 1).

Avec i : 0 <= i <= n-k, P(Y=i) = C(n-k,i)*p^i*(1-p)^(n-k-i).

En posant i=l-k ==> 0 <= l-k <= n-k <==> k <= l <= n, P(Y=l-k) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(1-p)^(n-k-(l-k)) = C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(1-p)^(n-l)

En utilisant, la probabilité conditionnelle, P(X=k|Y=l-k) = P(X=k) car événement indépendant ne s'excluant pas l'un l'autre (avec la définition de l).

3) P(Z=0) = P(X=0 et Y=0) = P(X=0)*P(Y=0) = (1-p)^n*(1-p)^n = (1-p)^(2n)
P(Z=1) = P(X=0 et Y=1) + P(X=1 et Y=0) = P(X=0)*P(Y=1) + P(X=1)*P(Y=0) = (1-p)^n*C(n,1)*p*(1-p)^(n-1) + C(n,1)*p*(1-p)^(n-
)*(1-p)^(n-1) = np(1-p)^(n-1)((1-p)^n+(1-p)^(n-1) = np(1-p)^(2(n-1))*(1+1-p) = npq^(2(n-1))*(1+q). CQFD.

4) Cette égalité provient de la somme des événements pouvant former l appels au cours des deux phases de sollicitations. C'est à dire k et l-k personnes jointes respectivement à la 1ère et seconde phase.

En utilisant la probabilité totale [] ou le bon sens (), on a : ("Tu choisis [] et élimine {} pour l'énoncé !!)

P(Z=l) = [somme(k=0,l,P(Z=l|Y=l-k).P(Y=l-k)) = somme(k=0,l,P(X=k|Y=l-k).P(Y=l-k)) = ] { somme(k=0,l,P(X=k n Y=l-k)) = somme(k=0,l,P(X=k)*P(Y=l-k)) = } somme(k=0,l, C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)*C(n-k,l-k)*p^(l-k)*(1-p)^(n-l)) = somme(k=0,l, C(n,k)*C(n-k,l-k)*p^(k+l-k)*(1-p)^(n-k+n-l)) = somme(k=0,l, C(n,k)*C(n-k,l-k)*p^(l)*(1-p)^(2n-k-l)) CQFD

5) On part de la dernière forme, crée le C(n,l) et on factorise tout se qui est non k.

P(Z=l) = somme(k=0,l, C(n,k)*C(n-k,l-k)*p^(l)*(1-p)^(2n-k-l))
P(Z=l) = somme(k=0,l, n!/((k!(n-k)!)*(n-k)!/((l-k)!(n-l)!)*p^(l)*(1-p)^(2n-k-l))
P(Z=l) = n!/((n-l)!l!)*p^(l)*(1-p)^(2n-l)*somme(k=0,l, l!/(k!(l-k)!)*(1-p)^(-k))
P(Z=l) = C(n,l)*p^(l)*(1-p)^(2n-2l)*somme(k=0,l, C(l,k)*1^k*(1-p)^(l-k))
Et là, on reconnait le binôme.
P(Z=l) = C(n,l)*p^(l)*(1-p)^(2n-2l)*(1+1-p)^l
P(Z=l) = C(n,l)*p^(l)*(1-p)^(2n-2l)*(2-p)^l
P(Z=l) = C(n,l)*((1-p)^2)^(n-l)*(p(2-p))^l

Et en posant p' = p(2-p), q' = 1-p' = 1-2p+p² = (1-p)^2

Et on peut dire que Z suit une loi binomiale de paramètre n et p(2-p)

La suite arrive.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 22:21

La suite

5) E[Z|X=40] = somme(k=40,100,k*P(Z=k|X=40))
E[Z|X=40] = somme(k=40,100,k*P(Y=k-40|X=40))
E[Z|X=40] = somme(k=0,60,(k+40)*P(Y=k)
E[Z|X=40] = 40*somme(k=0,60,P(Y=k)) + somme(k=0,60,k*P(Y=k))
E[Z|X=40] = 40 + E[Y] = 40 + 60p

Posté par
ludelu1981
re : Exercice concernant loi binomiale et loi de Bernouilli 27-08-10 à 22:24

Merci beaucoup Boltzmann_Solver, c'est très sympa de ta part.
Bonne soirée bien méritée pour toi.
A bientôt
Ludovic

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