EXERCICE D'ARITHMETIQUE

1 LE BUT DE L4EXERCICE EST DE DETERMINER TOUTES LE SOLUTIONS ENTIERES ( x ,y, z) DE L'EQUATION  (E) :   x2+y2=z2


Soit (x', y', z') une solution de (E).
a) Démontrer que les couples (x',y') ;(y',z') ;(x',z') ont même pgcd. En déduire qu'il existe un entier d et trois entiers x, y, z premiers deux à deux tels que (x, y, z) est une solution de (E) et x'=dx, y'=dy,  z'=dz  
b) Soit (x, y, z) une solution de l'équation (E) telle que x, y, z soient premiers deux à deux. Démontrer que x et y sont de parités différentes.
c) Supposons x pair et y impair. En remarquant que z-y et z+y sont pairs, démontrer qu'il existe deux entiers u et v tels que y=u-v et z=u+v et u et v sont premiers entre eux.
d) Démontrer que u et v sont des carrés de deux entiers premiers entre eux (ie, u=a2 et v=b2).
e) En déduire que x=2ab, y=a2-b2 et z=a2+b2.  
f) En déduire toutes les solutions de (E) .
2
On suppose que l'équation (E') : x4+y4=z2 admet des solutions (x, y, z) où x, y, z appartient à Z*. On note (x, y, z) une solution de (E') telle que z soit strictement positif minimal et telle que x0 et y0 : pourquoi une telle solution existe-t-elle ?
1) Montrer que x et y sont premiers entre eux puis que x, y, z sont premiers deux à deux.
2) En utilisant l'exercice précédent montrer que l'on peut supposer x pair et qu'il existe alors deux entiers a et b tel que x2=2ab, y2=a2-b2 et z=a2+b2   Montrer par l'absurde que a est impair et déduire que b est pair.
3) Montrer qu'il existe deux entiers u et v premiers entre eux tels que b=2uv, y=u2-v2 et a=u2+v2.
4) En notant que x2 =4uv(u2+v2), montrer qu'il existe des éléments r, s et t de Z tels que u=r2, v=s2 et a=t2
5) Montrer que r et s sont non nuls et 0< t< z.
6) Déduire de ce qui précède que l'équation (E') n'a pas de solutions entières (x, y, z) telles que x≠0 et y≠0 et qu'il en est de même pour l'équation (E'') : x4+y4=z4                 .      

NOTE: a2 signifie a carré.Désolé je n'ai pas pu bien le saisir.