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Exercice sur les fonction meromorphe

Posté par
galileo 10-12-09 à 20:08

Salut,

je dois faire l'exercice suivant :

Pour tout entier n, on désigne \gamma_n le bord orienté du carré {z = x + iy, max(|x|,|y|)<= n + 1/2}
(1) Montrer que |\sin \pi z|\geq sh(\frac{\pi}{2}) pour z dans \gamma_n.
(2) Dans la suite, soit f une fonction méromorphe sur ademttant un nombre finis de pôles {a1,...,an} n'appartenant pas à . On suppose qu'il existe des nombres positifs, M,R et >1 tels que |z| R entraîne |f(z)| \frac{M}{|z|^\alpha}. Montrer que pour n assez grand, \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_n}\frac{\pi f(z)}{sin\pi z}dz = \sum_{k=-n}^{k=n}(-1)^k f(k) + \sum_{j=1}^{p}Res(\frac{\pi f(z)}{sin\pi z},a_j).
(3) Montrer que\lim_{n\to + \infty}\int_{\gamma_n}\frac{\pi f(z)}{sin\pi z}dz = 0.
(4) En déduire \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}(-1)^k f(k)= - \sum_{j=1}^{p}Res(\frac{\pi f(z)}{sin\pi z},a_j).
(5) Calculer \sum_{k\in Z}\frac{(-1)^k}{(k + a)^2} avec a \.

Je pense qu'il peut y avoir une erreur dans la question 1, j'arrive à la même inégalité avec à droite sh(pi y).

Posté par
galileore : Exercice sur les fonction meromorphe 10-12-09 à 20:18

je viens de résoudre la 1. Comment on applique le théorème des résidus pour 2 ?

Posté par
galileore : Exercice sur les fonction meromorphe 10-12-09 à 23:16

l'énoncé pour le 1 est faux car 0 ne vérifie pas l'inégalité.


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