Bonjour, voici l'exercice ou jai besoin daide:

On fait de cycles de cultures de bactéries dont certaines sont de type A et les autres de type B. Lors de la culture, la proportion de bactéries A est invariante dans le temps. Voici le protocole étudié:
Soit N un entier supérieu à 2.
Cycle 0: on dispose au départ de N bactéries dont k₀ sont d'un type A avec k₀ compris entre 0 et N. On laisse pousser la culture pour avoir un nombre de bactéries très grand devant N. On pose p=k₀/N et q= 1 - p .

Cycle 1: On préleve N bactéries avec lesquelles on fait une nouvelle culture.
Cycle 2,3,etc : On répète l'opération précédente.
On désigne X_k le nombre de bactéries de type A dans l'échantillon de taille N prélevé au début du cycle k. Ainsi X₀ est constante et égale à k₀.
On étudie les variables X_k. On utilise la convention ( N ) =0 si i>N ou i <0 (i parmis N)
                                                                           ( i )

PARTIE A:
1) Quelle est la loi de X₁ ? Montrer que P(X₁=i)=( N ) pⁱ(1-p)^N-i
                                                                     ( i )

2) Que vaut l'espérance de X₁? démontrer ce résultat.
3) Que vaut la variance de X₁?
On rapelle qu'on suppose que la culture ne change pas les proportions de bactéries de type A.
4) Soit n,i et k des entiers naturels. Montrer que:
               P(X_n+1=i |X_n=k)= ( N )( k/N )ⁱ(1 - k/N)^N-i
                                        ( i )  

Voila merci beaucoup