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Niveau Maths sup
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exercice variable

Posté par
choupy90
18-03-10 à 19:54

Bonjour, voici l'exercice ou jai besoin daide:

On fait de cycles de cultures de bactéries dont certaines sont de type A et les autres de type B. Lors de la culture, la proportion de bactéries A est invariante dans le temps. Voici le protocole étudié:
Soit N un entier supérieu à 2.
Cycle 0: on dispose au départ de N bactéries dont k0 sont d'un type A avec k0 compris entre 0 et N. On laisse pousser la culture pour avoir un nombre de bactéries très grand devant N. On pose p=k0/N et q= 1 - p .

Cycle 1: On préleve N bactéries avec lesquelles on fait une nouvelle culture.
Cycle 2,3,etc : On répète l'opération précédente.
On désigne Xk le nombre de bactéries de type A dans l'échantillon de taille N prélevé au début du cycle k. Ainsi X0 est constante et égale à k0.
On étudie les variables Xk. On utilise la convention ( N ) =0 si i>N ou i <0 (i parmis N)
                                                                           ( i )

PARTIE A:
1) Quelle est la loi de X1 ? Montrer que P(X1=i)=( N ) pi(1-p)N-i
                                                                     ( i )

2) Que vaut l'espérance de X1? démontrer ce résultat.
3) Que vaut la variance de X1?
On rapelle qu'on suppose que la culture ne change pas les proportions de bactéries de type A.
4) Soit n,i et k des entiers naturels. Montrer que:
               P(Xn+1=i |Xn=k)= ( N )( k/N )i(1 - k/N)N-i
                                        ( i )  

Voila merci beaucoup

Posté par
Pierre_D
re : exercice variable 18-03-10 à 22:31

Bonjour Choupy,

Je suis un peu perplexe, car tout cela est quasi-immédiat si on sait ce qu'est l'alternative répétée et la loi binomiale qui va avec.
Le plus dur est alors de déterminer la moyenne et la variance, si l'on est censé avoir oublié leurs valeurs pour la loi binomiale.



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