Bonjour,

Pose z = 1/2 + ki, k , cela traduit le déplacement de z sur D
Calcule les parties réelle et imaginaire de f(z), qui doivent donc dépendre de k :
f(z) = X(k) + iY(k)
Elimine k entre X(k) et Yk), tu dois trouver une équation de cercle en X et Y

f(z = 1/2+ki) = ... =(2k^2 - 3ki +8)/(9/4 - k^2)

Re(z)= (2k^2 +8)/(9/4 - k^2)
Im(z)= - 3ki/(9/4 - k^2)

Eliminer k ?

J'ai du rater quelque chose d'évident mais je ne vois pas comment continer...
Merci encore de votre aide.

svp ?

Bon, dans ce cas il faut suivre les indications de l'énoncé...
Je ne comprends pas ce que veut dire f-1(w) à la question b). Est-ce que c'est la fonction réciproque de f, qu'on note en général f^-1 ?

Oui c'est bien ca

avec f^-1, cela correspond bien a son énoncé dans le quel il dit : wf(X)  f^-1(w)X
alors que f-1, ba ca veut pas dire grand chose...

Si w = f(z) = (2z+5)/(z+1), alors z = f^-1(w) = (w-5)/(2-w)
On doit donc trouver les w tels que Re((w-5)/(2-w)) = 1/2, ou 2Re((w-5)/(2-w)) = 1
Or, pour tout complexe Z, en appelant Z' son conjugué (en principe on met une barre au-dessus), on a Z+Z' = 2Re(Z)
Donc ici, en appelant w' le conjugué de w, on a :
(w-5)/(2-w) + (w'-5)/(2-w') = 1
(w-5)(2-w') + (w'-5)(2-w) = (2-w)(2-w')
2w - ww' - 10 + 5w' + 2w'- ww' - 10 + 5w = 4 - 2w - 2w' + ww'
9w + 9w' -3ww' = 24
3(w + w') - ww' = 8
Et on a presque fini :
Si w = x+iy, w' = x-iy, w+w' = 2x, ww' = x²+y², donc :
6x - x² - y² = 8
x² + y² - 6x = -8
(x-3)² - 9 + y² = -8
(x-3)² + y² = 1
C'est donc un cercle de centre (3,0) et de rayon 1.
Tous calculs à vérifier...

Bonsoir

tes calculs doivent être bons LeHibou car je trouve la même chose autrement :

f(z)-3= ... = (2-z)/(1+z)

et x=1/2 est la médiatrice des points (-1;0) et (2;0)

donc si M est sur cette droite, |2-z|=|1+z|
et donc |f(z)-3|=1
ce qui prouve que l'image de M décrit le cercle de centre (3;0) de rayon 1 ...

mais attention quand même !

f bijective ne veut rien dire !!!! il faudrait préciser les ensembles !!!!

f est bijective de -{-1} sur -{2}

donc tout le cercle n'est pas atteint... notamment le point (2;0)

Exact, j'ai appliqué la méthode suggérée par l'énoncé, mais ce que tu as fait est nettement plus simple... Et effectivement, le point w = 2 est exclu, merci de l'avoir précisé !
Question : qu'est-ce qui t'a donné l'idée de calculer directement f(z)-3 ?

une vieille ruse de sioux...

comme la droite ne passe pas par le point interdit et qu'une fonction homographique est une inversion, je "sais" que l'image de D est un cercle.

ensuite, le dénominateur valant z-(-1), il faut que je trouve, avec -1, une autre affixe qui fait que D est médiatrice de ces deux points (pour avoir une égalité de distance). cette affixe vaut donc 2

puis je cherche une constante a telle que f(z)-a = b*(z-2)/(z+1)

et je trouve a=3 et b=-1

et le tour est joué !

cordialement

Alain

Et hop, ça a l'air si simple raconté comme ça...