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Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:09

Oui, c'est vrai.
J'avais à ce sujet une petite question car voici ma démonstration :
Soit a dans L. L/K extension finie équivaut à L/K[a] et K[a]/K extension finie. En particulier K[a]/K extension finie équivaut à a algébrique sur K.

Le problème est de savoir si K[a] est un corps, ce qui me semble est faux : c'est un corps ssi a est justement algébrique sur K !
Je me trompe pas ?

---

On sait qu'il existe un polynôme de K[X] tel que P(a)=0.
Deplus degP\le 2.

Il faut expliciter P ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:16

a est dans L et L est une extension finie donc a est algébrique sur K, donc K[a] est un corps.

Citation :
On sait qu'il existe un polynôme de K[X] tel que P(a)=0.
Deplus degP\le%202.


mais comme a n'est pas dans K, alors deg P=2.

Citation :
Il faut expliciter P ?


Oui. Tu prends un polynôme unitaire de degré 2 (P=X²+bX+c).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:27

Citation :
a est dans L et L est une extension finie donc a est algébrique sur K

Je ne comprend pas ce raisonnement.

Par suite on a une relation a^2+ba+c=0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:30

Citation :
Je ne comprend pas ce raisonnement.


C'est exactement le raisonnement que j'ai adopté dans mon message de 23h03.
En fait, je ne vois pas trop ce que tu me demandes.

Citation :
Par suite on a une relation a^2+ba+c=0 ?


Oui. ensuite ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:34

Citation :
En fait, je ne vois pas trop ce que tu me demandes.

Justement la preuve!
---

Ensuite, on écrit a^2+ba+c=(a+\frac{b}{2})^2+(c-\frac{b^2}{4})=0.
Soit e=a+\frac{b}{2} alors e\notin K et e^2=\frac{b^2}{4}-c\in K.

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:36

Il faut montrer ensuite que F=K[e] ?

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:39

(si a est algébrique, est-ce que a+k est algébrique (k désignant un scalaire))

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:39

Citation :
Justement la preuve!


la preuve de : si F/K est une extension finie, alors tout élément de F est algébrique sur K ?

fin du message de 23h34 : oui
message de 23h36 : oui.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:41

Citation :
(si a est algébrique, est-ce que a+k est algébrique (k désignant un scalaire))


oui, car si P est un polynôme annulateur de a, alors P(X-k) est un polynôme annulateur de a+k.
Plus généralement, la somme, le produit, l'inverse (et donc le quotient) de deux nombres algébriques, est algébrique.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:42

j'oubliais de préciser : P(X-k) est effectivement à coefficients dans K car P l'est et que k est élément de K.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:42

Citation :
la preuve de : si F/K est une extension finie, alors tout élément de F est algébrique sur K ?

oui, enfin si elle est pas longue.

est-ce que l'on aura toujours que si L/K est une extension, K[a] est inclus dans L que a soit algébrique ou non ?

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:44

Citation :
oui, car si P est un polynôme annulateur de a, alors P(X-k) est un polynôme annulateur de a+k.


Donc puisque a est algébrique, e l'est aussi.
K(e)=K[e] \subset F

Il faut montrer que F\subset K(e)=K[e] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:51

Citation :
oui, enfin si elle est pas longue.


elle n'est pas longue du tout.
Si le degré de l'extension vaut n, alors on est donc dans un espace vectoriel de dimension n et donc si a est dans F, alors les n+1 éléments \Large{1,a,a^2,...a^{n}} sont liés sur le corps K, ce qui veut exactement dire que A est racine d'un polynôme non constant à coefficients dans K, d'où a est algébrique.

Citation :
est-ce que l'on aura toujours que si L/K est une extension, K[a] est inclus dans L que a soit algébrique ou non ?


par définition, K[a] est le petit sous anneau de L contenant a et K, donc a fortiori K[a] est inclus dans L (que a soit algébrique ou pas).

message de 23h44 : il suffit simplement de montrer que la famille {1,e} est libre (tu auras alors une famille libre de 2 éléments dans un espace vectoriel de dimension 2, donc une base).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:56

{1,e} libre sur K ?

soit u,v des scalaires de K tel que u+ve=0, donc ve=-u et donc e=-\frac{u}{v}\in K si v est non nul. C'est absurde puisque e\notin K.
d'ou u=v=0.
{1,e} est libre dans un espace de dimension 2, c'est une base :

F=K+Ke\subset K[e] \subset F
Donc F=K[e].

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 24-02-08 à 23:59

oui, c'est correct.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:05

Je fais le 2/ :
Soit donc b\in F.
Puisque {1,e} est une base b=a+ue pour u dans K.

On a b^2=(a+ue)^2=a^2+2aue+u^2e^2.
Soit \frac{b^2-u^2e^2-a^2}{2}=aue.

Supposons que au\neq 0 alors \frac{b^2-u^2e^2-a^2}{2au}=e\notin K absurde.
Donc au=0.
Si u=0 alors b=a\in K absurde.
Donc a=0 et b=ue.

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:10

toutafé

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:12

Le 3/, je n'y arrive pas.

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:25

Je réfléchis...
Sinon, les hypothèses c'est bien a et b non nuls dans la clôture algébrique de \Large{\mathbb{F}_p} mais qui n'appartiennent pas à \Large{\mathbb{F}_p} et a² et b² qui n'appartiennent pas non plus à \Large{\mathbb{F}_p} (es-tu sûr de cette dernière hypothèse ?)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:28

Non!
évidemment a^2 et b^2 sont dans \mathbb{F}_p!

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:28

On se ramène au cas précédent.
Celle de la première question.

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:35

J'en ai bien l'impression. Reste à dire ce que vaut F ici.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:38

Il serait logique de prendre K=\mathbb{F}_p et F=\mathbb{F}_p[a] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:43

oui mais je pense qu'il faudrait prendre une autre définition de notre corps (normalement, ça va être le même, mais bon).

Comme on est dans une clôture algébrique, on peut considérer F l'unique corps à p² éléments (dont on connait la caractérisation).
Cette extension est quadratique : d'ailleurs pourquoi ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:46

Citation :
on peut considérer F l'unique corps à p² éléments


Plus précisément, on considère l'unique sous corps de \Large{\bar{\mathbb{F}_p}} à p² éléments.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:51

On sait qu'il existe une et une seule sous-extension de degré d de l'extension \bar{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p. C'est \mathbb{F}_{p^d}=\{x\in \bar{\mathbb{F}}_p\,,x^q=x\}.

Ici \mathbb{F}_p[a] est bien une sous-extension de l'extension \bar{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p.
De même \mathbb{F}_p[b] est bien une sous-extension de l'extension \bar{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p.

Je ne parviens pas à montrer que [\mathbb{F}_p[a]:\mathbb{F}_p]=2. Après je pense qu'on aurait de même [\mathbb{F}_p[b]:\mathbb{F}_p]=2 et par unicité \mathbb{F}_p[a]=\mathbb{F}_p[b]

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:53

Faut-il utiliser que \mathbb{F}_{p^d} est le corps de décomposition du polynôme X^q-X\in\bar{\mathbb{F}}_p ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 00:58

Oui, tu peux faire comme ça.
Tu peux dire par exemple que le polynôme minimal de a est X²-a² (c'est un polynôme annulateur et il est minimal car a n'appartient pas à K).

sinon, on peut raisonner autrement, afin utiliser ce qui précède.

Ici, on prend \Large{F=\mathbb{F}}_{p^2}.
Pour pouvoir appliquer ce que l'on a montré, il suffit de montrer que a (et donc b) est dans \Large{\mathbb{F}}_{p^2}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:01

message de 00h53 > ce n'est pas la peine de parler de corps de décomposition. On est plus explicite en disant que c'est l'ensemble des racines d'un certain polynôme.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:07

Citation :
Tu peux dire par exemple que le polynôme minimal de a est X²-a² (c'est un polynôme annulateur et il est minial car a n'appartient pas à K).

Mais en fait je ne vois pas le rapport avec le corps de décomposition.

On prend K=\mathbb{F}_p et F=\mathbb{F}_{p^2}.
On a [\mathbb{F}_{p^2}:\mathbb{F}_{p}]=2.

Donc nous sommes dans les mêmes conditions :
\frac{a}{b}\in \mathbb{F}_p ssi \frac{a}{b}=ua pour u\in K^*

?

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:08

Citation :
message de 00h53 > ce n'est pas la peine de parler de corps de décomposition. On est plus explicite en disant que c'est l'ensemble des racines d'un certain polynôme.

Ok.

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:09

Citation :

Mais en fait je ne vois pas le rapport avec le corps de décomposition.


aucun

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:11

Attend on va faire ta méthode avant pour pas s'embrouiller dans les messages!
On est ok sur mon message de 01:07 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:11

Citation :

Donc nous sommes dans les mêmes conditions :


pas tout à fait : il reste à montrer que a et b sont bien dans \Large{\mathbb{F}}_{p^2}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:13

pourquoi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:14

regarde l'énoncé des questions 1 et 2 : les éléments en question doivent appartenir à l'extension.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:17

Ok, donc en fait au lieu de prendre \bar{\mathbb{F}}_p on prend \mathbb{F}_{p^2} directement ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:21

non, a et b sont a priori quelconques dans \Large{\bar{\mathbb{F}}_p}, mais tu dois montrer que les propriétés qu'ils vérifient entrainent nécessairement qu'ils sont dans \Large{\mathbb{F}_{p^2}}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:24

Bon, désolé, je dois y aller.
Bonne nuit !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:27

C'est ton dernier message que je ne comprend pas, enfin ton avant-dernier!
Tu es la demain, ou dans la semaine ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:31

Citation :
C'est ton dernier message que je ne comprend pas, enfin ton avant-dernier!


a et b sont des éléments de \Large{\bar{\mathbb{F}}_p} qui n'appartiennent pas à \Large{\mathbb{F}_p} mais dont le carré appartient à \Large{\mathbb{F}_p}.

Avec ces seules hypothèses, tu dois montrer que, nécessairement, a et b sont dans \Large{\mathbb{F}_{p^2}}. OK ?

Citation :
Tu es la demain, ou dans la semaine ?


Demain, peut-être.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:36

Oui la c'est beaucoup plus clair.
Mais comment je montre par exemple que a\in\mathbb{F}_{p^2} ?
Il faut que a soit une racine dans un certain polynôme ?
On sait que  \mathbb{F}_{p^2} est l'ensemble des racines de P(X)=X^{p^2}-X.
Donc il faut que P(a)=0 ?

(bon jte laisse alors ! j'espère à demain, je serais présent moi!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 01:38

Tu sais quand même que a² est dans \Large{\mathbb{F}_p} donc tu sais au moins que a² (donc a) vérifie une certaine équation.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 09:44

En utilisant le petit thm. de Fermat ?
(a^2)^p=(a^2) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 09:48

oui.
Ensuite ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 09:50

On obtient donc a^{2p}-a^2=0 donc a est racine du polynôme P(X)=X^{2p}-X^2 mais par contre je ne sais pas à coefficient dans quel corps on doit le prendre ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 09:53

Il est à coefficients dans \Large{\mathbb{F}_p} (les coefficients non nuls valent 1 et -1) .
Cela dit, maintenant, on ne va plus parler de polynôme (enfin presque).
En simplifiant par a² (ce qui possible car a est non nul), essaie de dire ce que vaut \Large{a^{p-1}} et surtout, pourquoi ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:04

Ok donc lorsque on parle de \mathbb{F}_{p^d}=\{a\in\bar{\mathbb{F}_{p}},\, a^{p^d}=a\}, c'est bien l'ensemble des racines du polynômes P(X)=X^{p^d}-X\in\mathbb{F}_p[X] ? Par dérivation on obtient P'(X)=(p^d)X^{p^d-1}-1. J'aurais bien utilisé le fait que ce corps est de caractéristique p pour écrire P'(X)=-1. Cependant je n'arrive pas à montrer que \mathbb{F}_{p}\subset \mathbb{F}_{p^d}.

---

Ce qui me gêne c'est que a\in\bar{\mathbb{F}}_p^*, et, comme dis dans un autre post, je n'arrive pas à bien voir ce que signifie qu'un élément appartient à la clôture algébrique d'un certain corps K.
Visiblement a\in\bar{\mathbb{F}}_p^* implique que a\neq 0 mais je ne le "vois" pas.

Soit en simplifiant on obtient :
a^{2(p-1)}-1=0
Ou encore :
a^{(p-1)}^2=1

Faut-il utiliser l'ordre d'un certain groupe multiplicatif ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:17

1ère partie du message :

si x est dans \Large{\mathbb{F}_p}, alors \Large{x^p=x} donc \Large{(x^p)^p=(x^p)=x} et par récurrence immédiate sur d, ça marche.

Citation :
comme dis dans un autre post, je n'arrive pas à bien voir ce que signifie qu'un élément appartient à la clôture algébrique d'un certain corps K.

On se place dans une clôture algébrique pour ne pas sortir les éléments de nulle part. Initialement, l'unicité des corps finis, des corps de décompositions, n'est vraie qu'à isomorphisme près, mais si on impose qu'ils sont contenus dans un corps plus gros que l'on fixe dès le départ, on obtient une unicité tout court (et pas seulement à isomorphisme près).


Citation :
Visiblement a\in\bar{\mathbb{F}}_p^* implique que a\neq%200 mais je ne le "vois" pas.


c'est par définition de a\in\bar{\mathbb{F}}_p^* : c'est l'ensemble des éléments inversibles de \bar{\mathbb{F}}_p^*, c'est-à-dire ses éléments non nuls.



Pour la fin du message : remarque plutôt que \Large{a^{p-1}} est solution d'une équation dont tu connais les solutions. Quelle équation ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:26

.Je ne comprend pas le x en puissance dans le deuxième membre de l'égalité.
-J'ai x^p=x donc x^{p^d}=x^d non ?
-Ou alors x^p=x donc (x^p)^p=x^p=x soit x^{p^2}=x et on recommence.

.Donc si on travaille sur l'extension \bar{K}/K, on définit les choses de manières unique, on ne dira plus que les corps sont isomorphes comme extension de K ?

.On a bien \bar{\mathbb{F}}_p^*=\bar{\mathbb{F}}_p-\{0\} en fait ?

.Cela signifie que a^{p-1} est racine de X^2-1\in \mathbb{F}_p[X]. Les solutions sont 1 ou -1.
D'ou a^{p-1}=1 ou a^{p-1}=-1.

En voulant utiliser cependant le raisonnement avec les ordres je n'aboutit pas, comment faire ?

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