Oui, c'est vrai.
J'avais à ce sujet une petite question car voici ma démonstration :
Soit a dans L. L/K extension finie équivaut à L/K[a] et K[a]/K extension finie. En particulier K[a]/K extension finie équivaut à a algébrique sur K.
Le problème est de savoir si K[a] est un corps, ce qui me semble est faux : c'est un corps ssi a est justement algébrique sur K !
Je me trompe pas ?
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On sait qu'il existe un polynôme de K[X] tel que P(a)=0.
Deplus .
Il faut expliciter P ?
a est dans L et L est une extension finie donc a est algébrique sur K, donc K[a] est un corps.
j'oubliais de préciser : P(X-k) est effectivement à coefficients dans K car P l'est et que k est élément de K.
Kaiser
{1,e} libre sur K ?
soit u,v des scalaires de K tel que , donc et donc si v est non nul. C'est absurde puisque .
d'ou .
{1,e} est libre dans un espace de dimension 2, c'est une base :
Donc .
Je fais le 2/ :
Soit donc .
Puisque {1,e} est une base b=a+ue pour u dans K.
On a .
Soit .
Supposons que alors absurde.
Donc .
Si u=0 alors absurde.
Donc a=0 et .
Je réfléchis...
Sinon, les hypothèses c'est bien a et b non nuls dans la clôture algébrique de mais qui n'appartiennent pas à et a² et b² qui n'appartiennent pas non plus à (es-tu sûr de cette dernière hypothèse ?)
Kaiser
oui mais je pense qu'il faudrait prendre une autre définition de notre corps (normalement, ça va être le même, mais bon).
Comme on est dans une clôture algébrique, on peut considérer F l'unique corps à p² éléments (dont on connait la caractérisation).
Cette extension est quadratique : d'ailleurs pourquoi ?
Kaiser
On sait qu'il existe une et une seule sous-extension de degré d de l'extension . C'est .
Ici est bien une sous-extension de l'extension .
De même est bien une sous-extension de l'extension .
Je ne parviens pas à montrer que . Après je pense qu'on aurait de même et par unicité
Oui, tu peux faire comme ça.
Tu peux dire par exemple que le polynôme minimal de a est X²-a² (c'est un polynôme annulateur et il est minimal car a n'appartient pas à K).
sinon, on peut raisonner autrement, afin utiliser ce qui précède.
Ici, on prend .
Pour pouvoir appliquer ce que l'on a montré, il suffit de montrer que a (et donc b) est dans .
Kaiser
message de 00h53 > ce n'est pas la peine de parler de corps de décomposition. On est plus explicite en disant que c'est l'ensemble des racines d'un certain polynôme.
Kaiser
Attend on va faire ta méthode avant pour pas s'embrouiller dans les messages!
On est ok sur mon message de 01:07 ?
regarde l'énoncé des questions 1 et 2 : les éléments en question doivent appartenir à l'extension.
Kaiser
non, a et b sont a priori quelconques dans , mais tu dois montrer que les propriétés qu'ils vérifient entrainent nécessairement qu'ils sont dans .
Kaiser
C'est ton dernier message que je ne comprend pas, enfin ton avant-dernier!
Tu es la demain, ou dans la semaine ?
Oui la c'est beaucoup plus clair.
Mais comment je montre par exemple que ?
Il faut que a soit une racine dans un certain polynôme ?
On sait que est l'ensemble des racines de .
Donc il faut que P(a)=0 ?
(bon jte laisse alors ! j'espère à demain, je serais présent moi!)
Tu sais quand même que a² est dans donc tu sais au moins que a² (donc a) vérifie une certaine équation.
Kaiser
On obtient donc donc a est racine du polynôme mais par contre je ne sais pas à coefficient dans quel corps on doit le prendre ?
Il est à coefficients dans (les coefficients non nuls valent 1 et -1) .
Cela dit, maintenant, on ne va plus parler de polynôme (enfin presque).
En simplifiant par a² (ce qui possible car a est non nul), essaie de dire ce que vaut et surtout, pourquoi ?
Kaiser
Ok donc lorsque on parle de , c'est bien l'ensemble des racines du polynômes ? Par dérivation on obtient . J'aurais bien utilisé le fait que ce corps est de caractéristique p pour écrire P'(X)=-1. Cependant je n'arrive pas à montrer que .
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Ce qui me gêne c'est que , et, comme dis dans un autre post, je n'arrive pas à bien voir ce que signifie qu'un élément appartient à la clôture algébrique d'un certain corps K.
Visiblement implique que mais je ne le "vois" pas.
Soit en simplifiant on obtient :
Ou encore :
Faut-il utiliser l'ordre d'un certain groupe multiplicatif ?
1ère partie du message :
si x est dans , alors donc et par récurrence immédiate sur d, ça marche.
.Je ne comprend pas le x en puissance dans le deuxième membre de l'égalité.
-J'ai donc non ?
-Ou alors donc soit et on recommence.
.Donc si on travaille sur l'extension , on définit les choses de manières unique, on ne dira plus que les corps sont isomorphes comme extension de ?
.On a bien en fait ?
.Cela signifie que est racine de . Les solutions sont 1 ou -1.
D'ou ou .
En voulant utiliser cependant le raisonnement avec les ordres je n'aboutit pas, comment faire ?
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