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Extension quadratique
Bonsoir,
voici donc un petit exercice d'algèbre, tout en douceur...
Je poste mes réponses/reflexions demain!
Soit K un corps de caractéristique différent de 2.
Soit une extension quadratique (i.e.
).
1/ Montrer qu'il existe ,
tel que
et que
.
Montrer que est une base de F en tant que K-ev.
2/ Montrer que satisfait les propriétés de
ci-dessus ssi
pour un certain
.
3/ Prenons un corps premier à
éléments. Soit
une cloture algébrique de
. Soient
avec
et
. Montrer que
.
(maître Kaiser, si tu passes par ici!!)
Salut,
pour la première si tu as une extension de degré 2 de K, il existe un élément de F qui n'est pas dans K, regarde son polynôme minimal.
pour la première si tu as une extension de degré 2 de K, il existe un élément de F qui n'est pas dans K
est-ce un résultat général ?
L est un K-espace vectoriel de dimension > 1 sur K. Ceci entraine bien L
K. Il y a donc des élémentrs autres que ceux de K.
Ok.
Si j'ai par exemple L/K une extension, a dans L, tel que [L:K]=n. est-elle une famille libre sur K ?
Non, pas forcément, ça dépend de a. Il en existe un comme ça, mais c'est un gros théorème à démontrer.
En revanche ce qui est sur, c'est que 1,a,...,an-1,an est liée pour tout a.
ici il me semble que l'on a bien cela, , on peut trouver
F\K et on peut montrer que
est une famille libre.
si par exemple on avait .
on prend F\K, a-t-on aussi
qui est une famille libre?
Je crois que oui, mais c'est spécial à cause du fait qu'un polynôme de degré 3 est irréductible si et seulement s'il a une racine.
Je n'arrive pas à le prouver.
Dans le premier cas, je prend tel que
.
Si v est non nul, alors donc absurde. v est nul et il suit que u aussi.
Dans le deuxième cas, je prend tel que
. Je n'arrive pas à le prouver que
.
si 1,a,a2 est liée (avec 1,a libre) alors K(a) est une extension de degré 2 contnue dans une extension de degré 3 ....dur .
Je réfléchirai. Il faut quand même utiliser le fait que tu es dans une extension de degré 3. On doit arriver à montrer que le polynôme minimal de a ne peut pas être de degré 2 (n'avais-tu pas un lemme qui disait quelque chose comme ça?)
non, il ne me semble pas avoir de lemme ainsi.
pour parler d'un polynôme minimal de a, il faut que a soit algébrique.
on considère donc le polynôme qui vérifie F(a)=0 c'est cela? Mais il n'est pas unitaire.
Bonsoir à tous
non, il ne me semble pas avoir de lemme ainsi.
C'est un résultat plus général (que l'on appelle parfois lemme de la base télescopique) qui dit que si l'on fait deux extensions finies successives de degré respectives m et n, alors l'extension "globale" est finie et son degré vaut mn.
Plus précisément, si L est une extension finie de K de degré m et M une extension finie de L de degré n, alors M est une extension finie de K (la réciproque est également vraie) et son degré vaut mn.
En particulier, si K est un corps et M une extension finie de K alors toute extension intermédiaire est finie et son degré divise [M:K].
Kaiser
euh je signale que mon message de 16h38 te donnes la solution (effectivement le résultat télescopique tu l'as déjà utiliséplusieurs fois dans d'autre post)
[M:K] = [M:L][L!K] dès que ça a un sens ....MEME si les extensions sont infinies.
>lolo : Je ne veux pas une solution, je cherche une discussion qui puisse me faire prendre des automatismes.
>kaiser :
voila ce que j'ai appris :
L/K une extension
L/N et N/K deux autres extensions.
(L/K extension finie) équivaut à (L/N extension finie) et (N/K extension finie).
Deplus [L:K]=[L:N][N:K]
(je crois que cela signifie que le degré d'une sous-extension divise le degré d'une extension finie.
Je comprend ton message kaiser, mais je n'arrive pas à l'appliquer ici.
Je reprend l'exemple :
si F/K est une extension tel que [F:K]=3.
on se donne a dans F\K alors est-ce que est libre sur K ?
message de 21h10 : si jamais 1, a et a² étaient liés, comme a n'est pas dans K, que dire du degré de l'extension K(a)/K ?
Kaiser
oui car K(a) est un sous-espace vectoriel de F qui est de dimension 3 sur K.
Alors, le degré de l'extension vaut 2 ou 3 ?
Kaiser
K(a)=K[a] est engendré par les puissances de a. Or, si n est un entier n naturel, en effectuant la division euclidienne de par
, on a
(avec b, c et d des éléments de K) donc en évaluant en X=a, on a :
.
En définitive, K(a) sera alors engendré par 1, a et a².
Kaiser
on a bien ?
ensuite j'ai bien compris ta démarche, je ne vois pas pourquoi tu prend X^n cependant ?
puisque P est unitaire, quelque soit le polynôme F(X) de K[X] on a avec degR<3.
.
d'ou .
Il reste à montrer que c'est une famille libre ?
ensuite j'ai bien compris ta démarche, je ne vois pas pourquoi tu prend X^n cependant ?
c'est parce que j'ai dit avant que K[a] était engendré par les puissances de a donc j'ai montré que les puissances de a étaient elles-même combinaisons linéaires de 1, a et a².
Il reste à montrer que c'est une famille libre ?
peut-on utiliser ce qu'on a montré ? à savoir que [K[a]:K]=3 ?
oui. Pour ça, c'est un simple raisonnement d'algèbre linéaire qu'il faut adopter.
Kaiser
Mais c'est pas clair pour moi.
On a trois vecteurs qui génère K[a].
On sait que K[a] est un K-ev de dimension 3.
On peut directement conclure que ces trois vecteurs forment une famille libre ?
oui, c'est un théorème.
Dans un espace vectoriel de dimension finie n, une famille génératrice à au moins n éléments, et elle en a n si et seulement si c'est une base.
Kaiser
justement, le théorème nous le dit : la famille {1,a,a²} possède 3 éléments et engendre un espace vectoriel de dimension 3, donc c'est une base.
Kaiser
ok.
en particulier c'est une famille libre.
ça semble bien général : si on prend F/K une extension telle que . Soit a dans F\K alors
est libre ?
ah oui et je vois pourquoi.
quand on dit que le degré de la sous-extension divise le degré de l'extension.
Pour la deuxième partie de la question, on peut, mais ce n'est pas nécessaire (vu comment a a été choisi).
Kaiser
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