Bonsoir,
voici donc un petit exercice d'algèbre, tout en douceur...
Je poste mes réponses/reflexions demain!
Soit K un corps de caractéristique différent de 2.
Soit une extension quadratique (i.e. ).
1/ Montrer qu'il existe , tel que et que .
Montrer que est une base de F en tant que K-ev.
2/ Montrer que satisfait les propriétés de ci-dessus ssi pour un certain .
3/ Prenons un corps premier à éléments. Soit une cloture algébrique de . Soient avec et . Montrer que .
(maître Kaiser, si tu passes par ici!!)
Salut,
pour la première si tu as une extension de degré 2 de K, il existe un élément de F qui n'est pas dans K, regarde son polynôme minimal.
L est un K-espace vectoriel de dimension > 1 sur K. Ceci entraine bien LK. Il y a donc des élémentrs autres que ceux de K.
Ok.
Si j'ai par exemple L/K une extension, a dans L, tel que [L:K]=n. est-elle une famille libre sur K ?
Non, pas forcément, ça dépend de a. Il en existe un comme ça, mais c'est un gros théorème à démontrer.
En revanche ce qui est sur, c'est que 1,a,...,an-1,an est liée pour tout a.
ici il me semble que l'on a bien cela, , on peut trouver F\K et on peut montrer que est une famille libre.
si par exemple on avait .
on prend F\K, a-t-on aussi qui est une famille libre?
Je crois que oui, mais c'est spécial à cause du fait qu'un polynôme de degré 3 est irréductible si et seulement s'il a une racine.
Je n'arrive pas à le prouver.
Dans le premier cas, je prend tel que .
Si v est non nul, alors donc absurde. v est nul et il suit que u aussi.
Dans le deuxième cas, je prend tel que . Je n'arrive pas à le prouver que .
si 1,a,a2 est liée (avec 1,a libre) alors K(a) est une extension de degré 2 contnue dans une extension de degré 3 ....dur .
Je réfléchirai. Il faut quand même utiliser le fait que tu es dans une extension de degré 3. On doit arriver à montrer que le polynôme minimal de a ne peut pas être de degré 2 (n'avais-tu pas un lemme qui disait quelque chose comme ça?)
non, il ne me semble pas avoir de lemme ainsi.
pour parler d'un polynôme minimal de a, il faut que a soit algébrique.
on considère donc le polynôme qui vérifie F(a)=0 c'est cela? Mais il n'est pas unitaire.
Bonsoir à tous
euh je signale que mon message de 16h38 te donnes la solution (effectivement le résultat télescopique tu l'as déjà utiliséplusieurs fois dans d'autre post)
[M:K] = [M:L][L!K] dès que ça a un sens ....MEME si les extensions sont infinies.
>lolo : Je ne veux pas une solution, je cherche une discussion qui puisse me faire prendre des automatismes.
>kaiser :
voila ce que j'ai appris :
L/K une extension
L/N et N/K deux autres extensions.
(L/K extension finie) équivaut à (L/N extension finie) et (N/K extension finie).
Deplus [L:K]=[L:N][N:K]
(je crois que cela signifie que le degré d'une sous-extension divise le degré d'une extension finie.
Je comprend ton message kaiser, mais je n'arrive pas à l'appliquer ici.
Je reprend l'exemple :
si F/K est une extension tel que [F:K]=3.
on se donne a dans F\K alors est-ce que est libre sur K ?
message de 21h10 : si jamais 1, a et a² étaient liés, comme a n'est pas dans K, que dire du degré de l'extension K(a)/K ?
Kaiser
oui car K(a) est un sous-espace vectoriel de F qui est de dimension 3 sur K.
Alors, le degré de l'extension vaut 2 ou 3 ?
Kaiser
K(a)=K[a] est engendré par les puissances de a. Or, si n est un entier n naturel, en effectuant la division euclidienne de par , on a (avec b, c et d des éléments de K) donc en évaluant en X=a, on a :
.
En définitive, K(a) sera alors engendré par 1, a et a².
Kaiser
on a bien ?
ensuite j'ai bien compris ta démarche, je ne vois pas pourquoi tu prend X^n cependant ?
puisque P est unitaire, quelque soit le polynôme F(X) de K[X] on a avec degR<3.
.
d'ou .
Il reste à montrer que c'est une famille libre ?
Mais c'est pas clair pour moi.
On a trois vecteurs qui génère K[a].
On sait que K[a] est un K-ev de dimension 3.
On peut directement conclure que ces trois vecteurs forment une famille libre ?
oui, c'est un théorème.
Dans un espace vectoriel de dimension finie n, une famille génératrice à au moins n éléments, et elle en a n si et seulement si c'est une base.
Kaiser
justement, le théorème nous le dit : la famille {1,a,a²} possède 3 éléments et engendre un espace vectoriel de dimension 3, donc c'est une base.
Kaiser
ok.
en particulier c'est une famille libre.
ça semble bien général : si on prend F/K une extension telle que . Soit a dans F\K alors est libre ?
ah oui et je vois pourquoi.
quand on dit que le degré de la sous-extension divise le degré de l'extension.
Pour la deuxième partie de la question, on peut, mais ce n'est pas nécessaire (vu comment a a été choisi).
Kaiser
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