Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

factorisation dans R[x]

Posté par
Raziel 18-01-10 à 14:27

salut
je veux décomposer X^5-1 en facteurs irréductibles dans R[X].
tous que je sais c'est,
X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1).
merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 14:31

Bonjour

Commence par le décomposer dans C[X], puis regroupe les racines conjuguées.

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 14:37

merci "Camélia" mais ça la chose que je sais pas faire.

est-ce que tu peux m'aider ?
merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 14:42

Si tu ne sais pas utiliser les racines cinquièmes de l'unité...

Tu sais qu'un polynôme de degré 4 sans racines réelles se décompose en facteurs de degré 2. Alors vas-y avec des coefficients indéterminés!

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 14:54

tu veux dire que,
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-1)(aX^2+bX+c)(a_1X^2+b_1X+c_1)
merci

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 14:57

Non, seulement

X^4+X^3+X^2+X+1=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)

tu peux les prendre unitaires!

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 15:00

ok "Camélia" merci beaucoup.
maintenant comment je peux déterminer a,b,c et d.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 15:02

Tu développes le second membre et tu identifies!

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 15:31

merci "Camélia"
donc,
X^4+X^3+X^2+X+1=X^2(ac+b+d)+X(a d+bc)+X^3(a+c)+bd+X^4.
ac+b+d=1
ad+bc=1
a+c=1
bd=1
c'est ça ?
merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 15:35

Oui, c'est ça... continue...

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 16:40

salut
j'ai trouvé
b=d=1.
a=\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})
c=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})
X^4+X^3+X^2+X+1=(X^2+\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})X+1)(X^2+\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})X+1)

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 21:56

Est-ce que j'ai répondu à la question,décomposer X^5-1 en facteurs irréductibles dans R[X].
X^5-1=(X-1)(X^2+\frac{1}{2}(1-\sqrt{5})X+1)(X^2+\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})X+1)
merci.

Posté par
rhomarire : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 22:02

TU peuT  t ASSURER ce sont des trinomes de 2 degré !!

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 18-01-10 à 22:21

salut
j'ai trouvé cette décomposition et je la comprends pas ????
X^5-1=(X-1)(X^2-2cos(\frac{2\pi }{5})X+1)(X^2-2cos(\frac{4\pi }{5})X+1)

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 19-01-10 à 14:11

C'est pareil! C'est même une excellente manière de calculer cos(2\pi/5).

La ptemière méthode que je te suggérais consistait à écrire

X^5-1=(X-1)(X-e^{2i\pi/5})(X-e^{-2i\pi5})(X-e^{4i\pi/5})(X-e^{-4i\pi/5})=\\ \\ (X-1)(X^2-2\cos(2\pi/5)X+1)(X^2-2\cos(4\pi/5)X+1)

La décomposition en cateurs irréductibles étant unique...

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 19-01-10 à 17:13

salut "Camélia"
X^5-1=\prod_{k=0}^{4}(X-e^{\frac{2ki\pi }{5}})=(X-1)(X-e^{\frac{2i\pi }{5}})(X-e^{\frac{4i\pi }{5}})(X-e^{\frac{6i\pi}{5}})(X-e^{\frac{8i\pi}{5}})
non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:10

Oui, mais e^{8i\pi/5}=e^{-2i\pi/5} et e^{6i\pi/5}=e^{-4i\pi/5} De toute façon tu sais bien que les racines complexes sont conjuguées deux à deux...

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:18

merci "Camélia"
e^{8i\pi/5}=e^{-2i\pi/5} \\ e^{6i\pi/5}=e^{-4i\pi/5}
ops! je connais pas ça !
Est-ce que tu peux généraliser ces résultats ?
merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:29

Tu sais que e^{2i\pi}=1. C'est général que e^{it}=e^{i(2\pi-t)}

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:39

tu veux dire e^{it}=e^{i(t-2\pi)}.
merci bien "Camélia".

Posté par
Camélia Correcteurre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:43

Oui, cette fois plantée!!

Posté par
Razielre : factorisation dans R[x] 20-01-10 à 14:44

merci beaucoup "Camélia" .


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !