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Niveau Licence Maths 1e ann
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fonction repartition

Posté par
juju783
16-10-08 à 21:53

j'ai un exo qui me pose probleme

On a :

Soit U une variable de loi uniforme sur l'intervalle ]0,1]. On définit les v.a X,Y,Z par

X= \sqrt{U}  Y=\frac{1}{2U+1} Z= - ln U

On me demande de determiner l'ensemble des valeurs prises par chacune des variables X,Y,Z.

Jusque la ok
mais on me demande ensuite de determiner la fonction de répartition de X=\sqrt{U}
Mais la je ne  vois pas comment proceder?:/[/tex]

Je sais que F(x) = P( X <= x)
Mais cmt faire ici  ?

Posté par
veleda
re : fonction repartition 16-10-08 à 22:24

bonsoir,
X=U
X prend ses valeurs sur]0,1]
soit G la fonction de répartition de X G(x)=P(Xx)
*x0 G(x)=0
*x>0 Xx<=>Ux donc U
P(Ux²)=F(x²) si F est la fonction de répartition de U
donc
0<x1 G(x)=F(x²)=x²
1<x G(x)=1

Posté par
juju783
re : fonction repartition 16-10-08 à 23:20

Merci!

Mais je viens de commencer donc j'ai du mal

Pourquoi si x <= alors G(x) = 0

a quoi voit on ca?

idem pour si x > 0  X <=x ?

Posté par
veleda
re : fonction repartition 17-10-08 à 11:12

tu dois calculer pour tout x réel G(x)=P(Xx)
X=U
Xx<=>Ux
*si x<0 on ne peut pas avoirUx<0 dpnc
P(Xx)=0G(x)==0
*six>0 Xx<=>Ux soit Uu=x²
donc G(x)=F(x²)
si 0<x1=>0<u=x²1  on sait que l'on a alors F(u)=u donc G(x)=F(x²)=x²
si x>1=>u=x²>1 donc F(u)=1 et G(x)=1
conclusion
xO G(x)=0
0<x1 G(x)=x²
x>1 G(x)=1

Posté par
juju783
re : fonction repartition 17-10-08 à 18:53

Merci pour cette explication mais javoue que ce n'est pas très claire ds ma tete
je comprends pas pourquoi

Je vais voir si jai compris avec
Z= - ln U

On me demande la meme chose
soit

si z<0

F(z)=P(Z <= z)

F(z)=P(- ln U < z)

et la je bloque encore, je ne comprends pas pourquoi je n'y arrive pas :@

Posté par
veleda
re : fonction repartition 17-10-08 à 20:24

quand tu as -lnUz<=>lnU-z soitUe-z
P(Ue-z)=1-P(Ue-z)=1-F(e-z)
siz0  0<e-z1  donc F(e-z))=e-z
donc G(z)=1-e-zsi z0
tu regardes pour z<0

Posté par
veleda
re : fonction repartition 17-10-08 à 21:24

si z<0 e-z>1 donc F(e-z)=1=>G(z)=1-1=0
donc la fonction de répartition G de Zest définie par
G(z)=0 sur R*-
G(z)=1-e-zsur R+
je ne sais pas si tu as vu cette loi mais la loi de Z est la  loi exponentielle de paramètre 1

Posté par
juju783
re : fonction repartition 17-10-08 à 21:59

Merci.. dsl car j'ai vraiment du mal , pourtant en tant normal j'aime bien les maths

"quand tu as -lnU<= z<=> lnU=>-z soit U=>e^{-z}
P(U=>e^{-z})=1-P(U<=e^{-z})=1-F(e^{-z})"

pourquoi ici on a =1-F(e^{-z}) Que vient faire F(x)?

Enfait je m'embrouille vraiment avec G(x) et F(x), et je ne comprends pas l'utilité!

Posté par
veleda
re : fonction repartition 17-10-08 à 22:19

j'ai noté F la fonction de répartition de U et G celle de Z
on connait celle de U c'est du cours donc on cherche à exprimer G à l'aide de F
P(Uu)=F(u) si u=e-z c'est F(e-z)

Posté par
juju783
re : fonction repartition 17-10-08 à 23:42

Vous n'auriez pas un site qui explique bien le cour car j'en ai pas vraiment et tout se mélange dans ma tete , vraiment :s

Par exemple

Pour

ensemble de def: [1/3,1[

On a

Soit H la fonction de répartition de Y

H(y)= P(Y <=y)
=P(\frac{1}{2U+1} <= y)
..
=1 - G(\frac{1-y}{2y}

1er cas:

Si y < 1/3

Et la je bloque à nouveau, comment conclure quelque chose ici?

Posté par
veleda
re : fonction repartition 18-10-08 à 21:45

on a bien   Y()=[\frac{1}{3};[
U=\frac{1-Y}{2Y}U est une fonction strictement décroissante de Y
Yy=>U
*pour tout y [\frac{1}{3};1]\frac{1-y}{2y}]0;1]H(y)= P((Yy)=1-P(u\frac{1-y}{2y}=1-G({1-y}{2y})=1-(\frac{1-y}{2y}=\frac{3y-1}{2y} sauf erreur de calcul
*pour y1 \frac{1-y}{2y}=>G({1-y}{2y})=0=>H(y)=1-0=1[/tex]
*Y ne prend pas de valeurs <\frac{1}{3} donc H(y)=0 si y<\frac{1}{3}



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