Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau seconde
Partager :

forme canonique

Posté par
fakir151
05-08-07 à 09:00

Salut tout le monde, bien dormi?

Voila comme vous l'avez peut etre vu plusieurs fois sur le forum, je suis en 3eme mais je m'interesse beaucoup au programme de seconde. Et j'aimerais que l'on mexplique ce qu'est la forme canonique: à quoi elle sert? Comment la faire? J'aimerais des exemples d'utilisation svp.

Merci d'avance à ceux qui me répondront.

fakir151

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 09:05

Bonjour,

on utilise la forme canonique pour les expressions du 2nd degré.

Ceci est une forme canonique : f(x) = (x+3)²-8

Si tu la développes, tu vas trouver que f(x) = x²+6x+1

Maintenant, essaie de faire le contraire, essaie de mettre cette fonction sous forme canonique :

g(x) = x²-4x+10

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 09:08

ça donne, je crois (x-2)²+6. Mais je n'est pas tres bien compris, j'en fais quoi apres comment l'utiliser?

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 09:12

Oui, ça donne bien ça.

Cela sert à plusieurs choses. Tout d'abord, à factoriser.

Trouve la forme canonique de h(x) = x²-6x+5 , puis continue de factoriser ...

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 09:17

cela donne je croi (x-1)(x-5). J'ai compris pour celui ci mais l'exemple d'avant g(x)=x²-4x+10
            =(x-2)²+6, on peut rien en faire vu qu'on peut pas factoriser?

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 09:21

Exact !

La forme canonique est : (x+a)²+b

A partir de là, 3 possibilités :

Si b=0 : c'est terminé, la factorisation est finie.

Si b>0 : c'est terminé, on ne peut plus factoriser.

Si b<0 : on peut encore factoriser en utilisant a²-b²=(a-b)(a+b)

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 09:22

ok merci beaucoup de ton explication tres clair jamo. Encore merci.

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 09:22

Donc, la forme canonique sert à factoriser. En effet, difficile de "deviner" que x²-6x+5 est égal à (x-1)(x-5).

Elle sert aussi à étudier les variations d'une fonction.

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 09:24

peux tu me donner un exemple ou elle sert à étudier les variations d'une fonction stp?

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 09:32

Tiens, tu peux lire ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9

Bon, reprenons l'exemple de f(x) = x²-6x+5 = (x-3)²-4

Nous allons montrer qu'elle est croissante lorsque x appartient à [3;+inf[

Soit x1 et x2 deux réels tels que :

3 <= x1 < x2

<==> 0 <= x1-3 <= x2-3 (on ne change pas le signe en enlevant 3 à chaque membre)

<==> 0 <= (x1-3)² <= (x2-3)² (2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés)

<==> 0 <= (x1-3)²-4 <= (x2-3)²-4

<==> 0 <= f(x1) <= f(x2)

Et voilà ! On a démontré que si on prend 2 nombres plus grands que 3, alors leurs images par la fonction f sont dans le même sens, donc l fonction est croissante sur [3;+inf[

Essaie de faire pareil en prenant 2 nombres plus petis que 3 : x1 < x2 <= 3

Posté par
tokiohotel59
re : forme canonique 05-08-07 à 09:43

bonjour tous le monde!!je voulais savoir si il y avait une methode pour trouver la forme canonique???merci d'avance pour vos reponses..

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 09:50

alors je fais avec ma méthode:

soit a et b tels que a>b

f(a)-f(b)=(a-3)²-4-(b-3)²+4
         =(a-b)(a+b-6)

a>b donc a-b>0

a+b<2a or 2a<6
donc a+b<6
a+b-6<0

a+b-6<0 et a-b<0 donc (a-b)(a+b-6)>0

donc f(a)-f(b)>0 donc f(a)>f(b)

f conserve l'ordre donc f est croissante sur cet intervalle.

Je ne comprends pas tres bien la méthode que tu utilise . Tu pourrai me faire le meme exercice avec la méthode que tu as utilisé à la premiere question pour que j'essai de comprendre.

Posté par
nnanou13
re : forme canonique 05-08-07 à 09:57

salut fakir 151 c'est bien de t'intresser comme cela au programme, mais seulement tu verras la forme canonique au programme de 1ere s ou es donc tu as le temps.C'est pas la peine de vouloir tout savoir d'un coup (sinon on passerait son bac en 2nd)mais doucement comme le dit le proverbe:
"Doucement mais surement".Deja tu sais comment faire pour le sens de variation de fonction d'un  niveau seconde,sachant que ceci représente un gros bloc tu programme de 2nd.

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 10:01

c'est bon j'ai compri la forme canonique et je viens de comprendre comment faire avec la méthode de jamo.

En plus il y a plein de seconde qui utilise la forme canonique .

De plus je ne m'attaque pas au truc bien compliqué.

mais merci quand même du conseil nnanou

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 10:03

ah pardon jamo, j'ai fait une erreur

f est décroissante car f(a)-f(b)n'est pas positif mais négatif, jai fait une erreur

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:05

bonjour à tous,

La forme canonique te permet aussi de savoir dans quels intervalles tu dois étudier le sens de variation de la fonction , si on ne te l'a pas donné dans l'énoncé.
Dans l'exemple de jamo , le fait d'obtenir (x-3)² te dit qu'il faut couper à la valeur x=3 et donc etudier sur [3,+inf[ et ]-inf;3]

Elle te permet aussi de trouver le minimum de la courbe, qui est dans l'exemple (3;-4).

Et si tu fais un changement de repère pour mettre l'origine du repere en ce minimum justement , tu retrouve une fonction paire ce qui te permet de montrer que la courbe de la fonction a un axe de symetrie d'équation x=3

Beaucoup de notions nouvelles...

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:06

tu retrouves, pardon !

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 10:07

merci pour tes explications. J'ai tres bien compri tout ce que tu as écrit. Merci sarriette.

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:07

et pour ta démo, f(a)-f(b) est bien positif.

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 10:09

non il est négatif vu que a+b-6<0 . T'es sur qu'il est positif?

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:11

ah tu travaillais dans ]-inf, 3] ?

Posté par
nnanou13
re : forme canonique 05-08-07 à 10:11

Je t'entraine un peu une petite facile:
x^2+6x+5.Donner la forme canonique. (a^2-b^2).

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:13

excuse moi, je croyais que tu recommençais la démo de jamo à ta façon et je n'ai pas regardé le detail de la démo.
alors dans ce cas oui, elle est décroissante !

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:53

Citation :
posté par : tokiohotel59
bonjour tous le monde!!je voulais savoir si il y avait une methode pour trouver la forme canonique???merci d'avance pour vos reponses..


Oui, il y a une méthode. Il faut faire apparaitre le début d'une identité remarquable.

Exemple :

f(x) = x²-6x+5

Qaudn on voit "x²-6x", ça fait penser au début du développement de (x-3)², donc :

x²-6x+5 = (x-3)² + .... et ensuite, on complète la suite pour que ça donne bien la même chose.

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-08-07 à 10:55

Citation :
salut fakir 151 c'est bien de t'intresser comme cela au programme, mais seulement tu verras la forme canonique au programme de 1ere s ou es donc tu as le temps.C'est pas la peine de vouloir tout savoir d'un coup (sinon on passerait son bac en 2nd)mais doucement comme le dit le proverbe:
"Doucement mais surement".Deja tu sais comment faire pour le sens de variation de fonction d'un niveau seconde,sachant que ceci représente un gros bloc tu programme de 2nd.


On commence à voir la forme canonique en 2nde, ce qui permet de faire des factorisations et d'étudier les variations de fonctions.

Ensuite, les élèves on tendance à l'oublier rapidement, car on voit à partir de la 1ère d'autres méthodes plus puissantes pour faire ces choses-là.
Et c'est dommage qu'ils l'oublient, car de temps en temps, ça peut servir ... (par exemple pour les équations de cercles)

Posté par
fakir151
re : forme canonique 05-08-07 à 15:50

Merci à tous pour vos réponses. Dsl de ne pas avoir répondu ce matin mais mon ordi a eu un gros bug!!! Merci de votre compréhension.

Dsl aussi à sarriette pour etre parti de msn à cause du bug

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 05-08-07 à 15:53

pas de pb fakir

Posté par
kikool
re : forme canonique 06-08-07 à 15:05

bonjour!!! juste une petite question: quelle est la différence entre factoriser et donner la forme canonique svp? merci!!

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 06-08-07 à 15:10

bonjour kikool,

la forme canonique est une etape intermediaire:

ex: f(x) = (x+3)²-16 est sous forme canonique

puis tu peux la factoriser en la mettant sous forme de produits:

f(x) = (x+3-4)(x+3+4)
= (x-1)(x+7) forme factorisée.

Posté par
kikool
re : forme canonique 06-08-07 à 15:15

ok merci beaucoup sarriette!

Posté par
sarriette Correcteur
re : forme canonique 06-08-07 à 15:16

de rien, bon aprem !

Posté par
titi1925
La forme canonique 09-09-07 à 13:49

enf ait je comprend pas dans la forme canonique comment par exemple dans le premier exemple on peut obtenir ca f(x) = (x+3)²-8

Si tu la développes, tu vas trouver que f(x) = x²+6x+1

Posté par
couzeau
forme canonique 04-01-08 à 10:30

bonjour a tous!
j'ai bien compris la méthode mais quand on a un exemple du type x^2+2x+15 comment on fait pour factorisé?
merci d avance a ceux qui répondront

Posté par
couzeau
forme canonique 04-01-08 à 11:00

euh en faite je me suis trompé comment on fait quand on a 2x^2-7+5 ?
merci d avance pour votre réponse

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 04-01-08 à 11:02

couzeau >> Commence par donner une expression correcte ...

Posté par
couzeau
forme canonique 04-01-08 à 21:18

désolé
je comprend pa comment on fait pour factorisé 2x²+2x+15
avec la forme canonique
merci d avance

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-01-08 à 10:20

2x²+2x+15 = 2(x²+x+7.5) = 2[(x+0.5)²-0.5²+7.5] = 2[(x+0.5)²+7.25]

Posté par
couzeau
forme canonique 05-01-08 à 12:26

merci c est tres gentil parce que je bloquais dessus a fond
bonne journée

Posté par
couzeau
re : forme canonique 05-01-08 à 19:15

comment on fait pour ressoudre x²+x+1 ??parce que cela je trouve vraiment pas au moins le debut pour m aider
merci d avance

Posté par
jamo Moderateur
re : forme canonique 05-01-08 à 19:55

Si c'est un nouvel exercice ==> nouveau topic.

Posté par
Louisa59
re : forme canonique 04-08-10 à 19:57

Bonsoir

Citation :
2x²+2x+15 = 2(x²+x+7.5) = 2[(x+0.5)²-0.5²+7.5] = 2[(x+0.5)²+7.25]


ce que je comprends :

- on divises par 2 (mais parce que c'est possible, si c'est pas possible on fait comment ?)

ensuite je ne comprends pas bien

Merci

Posté par
Daniel62
re : forme canonique 04-08-10 à 20:02

Bonjour Louisa

on divise par le coefficient de x²

pour se simplifier la vie.

il est plus facile de factoriser x² + x + 15/2

que 2x² + 2x + 15

surtout parce 2 n'est pas un carré parfait.

Posté par
Daniel62
re : forme canonique 04-08-10 à 20:05

j'ai dit factoriser

mais en fait on peut pas ici,

c'est juste pour mettre sous la forme canonique.

Posté par
Louisa59
re : forme canonique 04-08-10 à 20:07

Bonsoir Daniel

si tu divises : 2x² + 2x + 15 par 2 ça donne x² + x + 7,5 => x(x + 1) + 7,5

non je ne vois pas

Posté par
Daniel62
re : forme canonique 04-08-10 à 20:12

on garde le facteur 2,

mais on s'en occupe pas.

2*( x² + x + 7,5 )

ensuite on s'occupe des 2 premiers termes:

    x² + x

pour mettre sous la forme d'un carré.

c'est le début d'une identité remarquable,

de la forme (x + a)²

il faut chercher a tel que:

   (x + a)² = x² + x + (quelque chose)

Posté par
Daniel62
re : forme canonique 04-08-10 à 20:17

il faut donc chercher a tel que:

   (x + a)² = x² + x + (quelque chose)

et on sait que:

   (x + a)² = x² + 2ax + a²

on s'occupe pas de a² pour l'instant

on doit donc avoir:

   x² + 2ax + (a²) =  x² + x + (quelque chose)

les termes soulignés doivent être égaux.

Posté par
Louisa59
re : forme canonique 04-08-10 à 20:45

2*( x² + x + 7,5 )

2 *(x² + 1/2 + 7)

Posté par
Louisa59
re : forme canonique 04-08-10 à 20:49

2*( x² + x + 7,5 )

2 *(x² + 1/2x + 7,5)

Posté par
Daniel62
re : forme canonique 04-08-10 à 20:51

pas encore

on en est seulement à:

  (x + 1/2)² = x² + x + 1/4

on enlève le 1/4:

  (x + 1/2)² - 1/4 = x² + x

on ajoute le 7,5:

  (x + 1/2)² - 1/4 + 7,5 = x² + x + 7,5

Posté par
Louisa59
re : forme canonique 04-08-10 à 20:54

et le 2 alors ?

1 2 +


Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2016

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1183 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !