Salut tout le monde, bien dormi?
Voila comme vous l'avez peut etre vu plusieurs fois sur le forum, je suis en 3eme mais je m'interesse beaucoup au programme de seconde. Et j'aimerais que l'on mexplique ce qu'est la forme canonique: à quoi elle sert? Comment la faire? J'aimerais des exemples d'utilisation svp.
Merci d'avance à ceux qui me répondront.
fakir151
Bonjour,
on utilise la forme canonique pour les expressions du 2nd degré.
Ceci est une forme canonique : f(x) = (x+3)²-8
Si tu la développes, tu vas trouver que f(x) = x²+6x+1
Maintenant, essaie de faire le contraire, essaie de mettre cette fonction sous forme canonique :
g(x) = x²-4x+10
ça donne, je crois (x-2)²+6. Mais je n'est pas tres bien compris, j'en fais quoi apres comment l'utiliser?
Oui, ça donne bien ça.
Cela sert à plusieurs choses. Tout d'abord, à factoriser.
Trouve la forme canonique de h(x) = x²-6x+5 , puis continue de factoriser ...
cela donne je croi (x-1)(x-5). J'ai compris pour celui ci mais l'exemple d'avant g(x)=x²-4x+10
=(x-2)²+6, on peut rien en faire vu qu'on peut pas factoriser?
Exact !
La forme canonique est : (x+a)²+b
A partir de là, 3 possibilités :
Si b=0 : c'est terminé, la factorisation est finie.
Si b>0 : c'est terminé, on ne peut plus factoriser.
Si b<0 : on peut encore factoriser en utilisant a²-b²=(a-b)(a+b)
Donc, la forme canonique sert à factoriser. En effet, difficile de "deviner" que x²-6x+5 est égal à (x-1)(x-5).
Elle sert aussi à étudier les variations d'une fonction.
Tiens, tu peux lire ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9
Bon, reprenons l'exemple de f(x) = x²-6x+5 = (x-3)²-4
Nous allons montrer qu'elle est croissante lorsque x appartient à [3;+inf[
Soit x1 et x2 deux réels tels que :
3 <= x1 < x2
<==> 0 <= x1-3 <= x2-3 (on ne change pas le signe en enlevant 3 à chaque membre)
<==> 0 <= (x1-3)² <= (x2-3)² (2 nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés)
<==> 0 <= (x1-3)²-4 <= (x2-3)²-4
<==> 0 <= f(x1) <= f(x2)
Et voilà ! On a démontré que si on prend 2 nombres plus grands que 3, alors leurs images par la fonction f sont dans le même sens, donc l fonction est croissante sur [3;+inf[
Essaie de faire pareil en prenant 2 nombres plus petis que 3 : x1 < x2 <= 3
bonjour tous le monde!!je voulais savoir si il y avait une methode pour trouver la forme canonique???merci d'avance pour vos reponses..
alors je fais avec ma méthode:
soit a et b tels que a>b
f(a)-f(b)=(a-3)²-4-(b-3)²+4
=(a-b)(a+b-6)
a>b donc a-b>0
a+b<2a or 2a<6
donc a+b<6
a+b-6<0
a+b-6<0 et a-b<0 donc (a-b)(a+b-6)>0
donc f(a)-f(b)>0 donc f(a)>f(b)
f conserve l'ordre donc f est croissante sur cet intervalle.
Je ne comprends pas tres bien la méthode que tu utilise . Tu pourrai me faire le meme exercice avec la méthode que tu as utilisé à la premiere question pour que j'essai de comprendre.
salut fakir 151 c'est bien de t'intresser comme cela au programme, mais seulement tu verras la forme canonique au programme de 1ere s ou es donc tu as le temps.C'est pas la peine de vouloir tout savoir d'un coup (sinon on passerait son bac en 2nd)mais doucement comme le dit le proverbe:
"Doucement mais surement".Deja tu sais comment faire pour le sens de variation de fonction d'un niveau seconde,sachant que ceci représente un gros bloc tu programme de 2nd.
c'est bon j'ai compri la forme canonique et je viens de comprendre comment faire avec la méthode de jamo.
En plus il y a plein de seconde qui utilise la forme canonique .
De plus je ne m'attaque pas au truc bien compliqué.
mais merci quand même du conseil nnanou
ah pardon jamo, j'ai fait une erreur
f est décroissante car f(a)-f(b)n'est pas positif mais négatif, jai fait une erreur
bonjour à tous,
La forme canonique te permet aussi de savoir dans quels intervalles tu dois étudier le sens de variation de la fonction , si on ne te l'a pas donné dans l'énoncé.
Dans l'exemple de jamo , le fait d'obtenir (x-3)² te dit qu'il faut couper à la valeur x=3 et donc etudier sur [3,+inf[ et ]-inf;3]
Elle te permet aussi de trouver le minimum de la courbe, qui est dans l'exemple (3;-4).
Et si tu fais un changement de repère pour mettre l'origine du repere en ce minimum justement , tu retrouve une fonction paire ce qui te permet de montrer que la courbe de la fonction a un axe de symetrie d'équation x=3
Beaucoup de notions nouvelles...
excuse moi, je croyais que tu recommençais la démo de jamo à ta façon et je n'ai pas regardé le detail de la démo.
alors dans ce cas oui, elle est décroissante !
Merci à tous pour vos réponses. Dsl de ne pas avoir répondu ce matin mais mon ordi a eu un gros bug!!! Merci de votre compréhension.
Dsl aussi à sarriette pour etre parti de msn à cause du bug
bonjour!!! juste une petite question: quelle est la différence entre factoriser et donner la forme canonique svp? merci!!
bonjour kikool,
la forme canonique est une etape intermediaire:
ex: f(x) = (x+3)²-16 est sous forme canonique
puis tu peux la factoriser en la mettant sous forme de produits:
f(x) = (x+3-4)(x+3+4)
= (x-1)(x+7) forme factorisée.
enf ait je comprend pas dans la forme canonique comment par exemple dans le premier exemple on peut obtenir ca f(x) = (x+3)²-8
Si tu la développes, tu vas trouver que f(x) = x²+6x+1
bonjour a tous!
j'ai bien compris la méthode mais quand on a un exemple du type x^2+2x+15 comment on fait pour factorisé?
merci d avance a ceux qui répondront
euh en faite je me suis trompé comment on fait quand on a 2x^2-7+5 ?
merci d avance pour votre réponse
désolé
je comprend pa comment on fait pour factorisé 2x²+2x+15
avec la forme canonique
merci d avance
comment on fait pour ressoudre x²+x+1 ??parce que cela je trouve vraiment pas au moins le debut pour m aider
merci d avance
Bonsoir
Bonjour Louisa
on divise par le coefficient de x²
pour se simplifier la vie.
il est plus facile de factoriser x² + x + 15/2
que 2x² + 2x + 15
surtout parce 2 n'est pas un carré parfait.
Bonsoir Daniel
si tu divises : 2x² + 2x + 15 par 2 ça donne x² + x + 7,5 => x(x + 1) + 7,5
non je ne vois pas
on garde le facteur 2,
mais on s'en occupe pas.
2*( x² + x + 7,5 )
ensuite on s'occupe des 2 premiers termes:
x² + x
pour mettre sous la forme d'un carré.
c'est le début d'une identité remarquable,
de la forme (x + a)²
il faut chercher a tel que:
(x + a)² = x² + x + (quelque chose)
il faut donc chercher a tel que:
(x + a)² = x² + x + (quelque chose)
et on sait que:
(x + a)² = x² + 2ax + a²
on s'occupe pas de a² pour l'instant
on doit donc avoir:
x² + 2ax + (a²) = x² + x + (quelque chose)
les termes soulignés doivent être égaux.
pas encore
on en est seulement à:
(x + 1/2)² = x² + x + 1/4
on enlève le 1/4:
(x + 1/2)² - 1/4 = x² + x
on ajoute le 7,5:
(x + 1/2)² - 1/4 + 7,5 = x² + x + 7,5
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