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Niveau seconde
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Géométrie dans l'espace coin de cube

Posté par
Maths11 22-04-07 à 09:14

Bonjour vous pouvez m'aidez svp :

OABC est un "coin de cube" et OA=OB=OC=3 (cm)
I est le milieu de [AB].
Calculer la hauteur OH de cette pyramide.
Calculer de 2 manières différentes l'aire du triangle ABC et le volume du coin de cube.

Merci d'avance

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:32

Bonjour,

Voici la méthode pour calculer OH :

1) Le triangle AOB est rectangle isocèle en O : tu peux calculer la longueur OI.

2) Le triangle OIC est rectangle en O. Tu connais OI et OC, donc tu peux calculer IC.

3) Le triangle ABC est équilatéral. (IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]

4) Dans le tiangle OIC rectangle en O, tu pourras maintenant calculer OH. ( (OH) est une hauteur)

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:34

Ok merci mais il faut calculer le volume et l'aire de 2 manières non?

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:36

"(IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]"
Comment je connais la position de H ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:37

Volume = AireBase*hauteur/2

Méthode 1 :
Base = ABC Hauteur = OH


Méthode 2 :
Base = OAB Hauteur = OC

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:38

Citation :
"(IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]"
Comment je connais la position de H ?



ABC est un triangle équilatéral, donc l'orthocentre, centre du cercle circonscrit et centre de gravité sont confondus. Et tu dois savoir que le centre de gravité est situé à 1/3 et 2/3 sur la médiane ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:38

OK merci mais je comprend pas comment on fait
"(IC) est une médiane. Tu peux donc calculer la position de H sur [IC]"

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:39

Mais dans l'énoncé H n'est pas le centre de gravité

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:42

Oui, mais ABC est équilatéral ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:44

Je sais mais comment on peut savoir si H est sur [IC] et à 1/3

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:46

Essaie de faire des dessins à l'échelle des faces du tétraèdre, des différents triangles, et tu comprendras vite pourquoi ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:47

ok j'ai trouvé que IC= 3racine6/2

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:49

Alors calcule OI et OC, puis trace le triangle OIC ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:51

OI = 3racine2/2

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:51

OC=3cm

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:53

Ci²=13.5
CI = racine13.5

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:53

Trace le triangle OIC, puis trace la hauteur issue de O, cela te donnera H sur [IC]

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:57

Je comprend plus rien la

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 09:59

J'ai tracé COI et la hauteur issue de O mais après...

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:00

Tu connais OI, OC et IC ??

Alors trace le triangle OIC.

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:01

Oui je l'ai fait

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:01

La hauteur issue de O coupe (IC) en H !

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:02

Voila

Géométrie dans l\'espace coin de cube

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:03

Je sais mais dans ma copie, je peux pas faire une figure et mesurer la longueur

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:03

Ben voilà !

Je pense que tu arriveras à calculer OH, non ?

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:04

Comment je fais ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:04

Le triangle IOC estrectangle en O, tu peux donc calculer l'angle OIC.

Cet angle est égal à l'angle OIH dans le triangle OHI rectangle en H, tu arriveras donc à calculer OH ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:06

Ah OK ! merci j'avais pas pensé au cosinus, sinus...

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:09

Ok ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:10

en fait je vais avoir un résultat approché car
cosOIC=racine6/3

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:13

Non, tu peux trouver une valeur exacte.

Pour cela, utilise le sinus ... et comme on l'utilise dans les 2 triangles, il disparaitra ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:14

cosCIO=IO/IC= (3racine2/2) / (3racine3/2) = 35°

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:16

sinCIO=CO/CI = 3/(3racine3/3) = 2racine3/3

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:17

Prend le sinus ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:18

mais c'est écrit MAeror sur la calculatrice

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:19

Oui, et le sinus est aussi égal à OH/OI

Donc : OC/IC = OH/OI (en fait, on a 2 triangles semblables ...)

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:20

ce qui est égal à sin-1 3/(3racine3/2) ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:23

Peu importe, on a pas besoin de l'angle ...

OC/IC = OH/OI

<==> OH = OC*OI/IC

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:24

OH=3racine6/2

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:25

Je te laisse vérifier si ca marche sur la figure ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:26

Attend on peut reparir du début, je suis perdu la.
Je peux te donner mon raissonnement ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:29

Si tu veux ...

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:33

Alors rapidement :

BC=BA=CA

BCA est équilatéral

SOit T le pied de la hauteur issue de C

CT= 3racine6/2

Aire de CBA = 9racine3/2 cm²

Aire de BOA = 4.5cm²

Volume de la pyramide = Aire de BOA*OH/3
OH/3=racine3/3
OH= racine3

C'est bon ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:36

Non, le volume est égal à Aire(ABC)*OH/3

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:38

Oui je sais mais pour avoir le volume on peut fair aussi Aire(BOA)*OC/3 non?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:41

Oui, aussi.

Mais tu avais un peu mélangé les 2, tu avais écris Aire(BOA)*OH/3

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:41

ah ok.

Le résultat est juste ?

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:42

Est-ce que tu trouves le même volume avec les 2 méthodes ??

Posté par
Maths11re : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:43

Non

Posté par
jamo Moderateurre : Géométrie dans l'espace coin de cube 22-04-07 à 10:45

Alors y a un problème qq part !!

Le volume est égal à :

V = Aire(AOB)*OC/3 =

Aire(AOB) = 3*3/2= 9/2

Donc V = (9/2)*3/3 = 4.5 cm3

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