Bonjour,

En effet il te faut calculer l'indicatrice d'Euler pour trouver l'ensemble des ordres possibles des éléments du groupe (/31)^* car cet ensemble correspond aux diviseurs de l'ordre du groupe (/31)^*, ordre qui est donné par (31).

Comme 31 est un nombre premier alors on a bien (31)=30.
Donc l'ensemble des ordres possibles des éléments du groupe (/31)^* est l'ensemble des diviseurs de 30 c'est à dire l'ensemble E={1,2,3,5,6,10,15,30}.


Pour reprendre tes exemples:

Le premier est correct, en effet comme 2, 2² et 2³ ne sont pas congrus à 1 modulo 31 et que 2⁵1[31] alors on en déduit que l'ordre de 2 dans le groupe (/31)^* est 5.

En revanche ton deuxième exemple est faux car l'ordre d'un élément x dans un groupe (/n) est le plus petit entier naturel k non nul tel que x^k1[n].
Comme 4=2² on a 4⁵(2²)⁵ [31] ce qui est équivalent à 4⁵(2⁵)² [31].
Or 2⁵1[31] donc (2⁵)²1[31].
D'où 4⁵1[31].
Comme 4, 4² et 4³ ne sont pas congrus à 1 modulo 31 on en conclut que l'ordre de 4 dans le groupe (/31)^* est bien 5.

En espérant avoir éclairé ta lanterne

Génial!
Merci beaucoup pour votre aide Darksun c'est parfaitement clair!

précision : ça ne marche que parce que (Z/31Z)*  est cyclique, il est en général faux que tout diviseur du cardinal d'un groupe et l'ordre d'un élément.