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Niveau autre
Homographie et birapport
Posté par Catline
Bonjour,
J'ai essayé de faire un exercice d'analyse complexe sur les homographies et les birapport, mais je ne comprends absolument rien, pouvez-vous m'éclairer, s'il vous plait?
L'exercice est le suivant:
Soit(z1,z2,z3)un triplet de points distincts de
{
}.
Pour z
\{z1,z2,z3}, on note [z,z1,z2,z3] le birapport de (z,z1,z2,z3) défini par :
((z-z2)/(z-z3))/((z1-z2)/(z1-z3)) si z1,z2,z3
(z-z2)/(z-z3) si z1=
(z1-z3)/(z-z3) si z2=
(z-z2)/(z1-z2) si z3=
1. Montrer qu'il existe une unique homographie 
0 sur {} vérifiant 0(z1)=1,0(z2)=0 et 0(z3)=, puis que 0(z)=[z,z1,z2,z3]=[0(z),1,0,.
2.Soit (w1,w2,w3) un second triplet de points distincts de {}.
Montrer qu'il existe une unique homographie telle que: 
k{1,2,3},(zk)=wk.
3.En déduire que le groupe des homographies agit transitivement sur l'ensemble "cercles-droites" de {}.
4.Montrer que pour toute homographie 
et pour tout z{},[(z),(z1),(z2),(z3)]=[z,z1,z2,z3]
5. En déduire comment la condition de cocyclicité ou d'alignement de 4 points a,b,c,d de se traduit sur le birapport [a,b,c,d]. Retrouver le théoreme de l'angle inscrit à partir du résultat obtenu.
6.Quel est l'effet d'une permutation de 4 points a,b,c,d sur leur birapport [a,b,c,d]?
7. Déterminer rapidement une homographie transformant le cercle de centre 0 et de rayon 1 en la droite y=x, puis les déterminer toutes.
Pouvez-vous me donner quelques indications, je ne vois pas du tout comment partir et comment raisonner
Merci beaucoup
Il faut déjà savoir qu'une homographie est une fonction de la forme (z)=(az+b)/(cz+d) avec des conventions pour que l'infini soit dans l'ensemble de départ et, éventuellement, dans l'ensemble d'arrivée. Pour déterminer l'homographie, il faut déterminer a,b,c,d.
Avec ça, on doit pouvoir démarrer.
Je n'arrive pas à déterminer a,b,c,d. Je ne sais pas s'il faut utiliser la définition du birapport ou les conditions mises sur 0. Je n'arrive pas à me "représenter" ce que c'est que ce birapport en fait
Il me semble que le birapport n'intervient pas dans la toute première question.
Je n'ai pas fait le calcul mais les conditions sur fi doivent permettre de déterminer a,b,c,d.
Mille excuses, j'ai mal lu.
fi(z) est une fonction de z, avec des coefficients a,b,c,d choisis une fois pour toutes donc indépendants de z.
On lui impose des conditions en disant ce que doivent valoir fi(z1), fi(z2),fi(z3).
Cela donne des conditions sur a,b,c,d qui doivent permettre de calculer a,b,c,d.
Comme les conditions dépendent de z1,z2,z3, il faut s'attendre à obtenir a,b,c,d en fonction de z1,z2,z3.
D'accord, j'ai trouvé 0, et ça me semble correct car ça marche pour la suite de la question.
J'ai montré que 0(z)=[z,z1,z2,z3], pour la deuxieme partie de l'égalité, je ne vois pas ce qu'il faut montrer, est-ce qu'il faut montrer que z=0(z)...?
Pour la question 2., je pense que je dois montrer que zk=wk, mais je ne vois pas trop comment
Pour finir la question 1), calculer le birapport proposé en revenant à la définition du birapport et constater que c'est égal à fi0(z).
La question 2 est une généralisation de la question 1): trouver a,b,c,d tels que l'homographie que ces 4 nombres définissent vérifie les conditions imposées (cela risque de donner des calculs pénibles; il y a peut-être plus rusé?)
Pour la suite, j'avoue que je ne me souviens pas de la signification de "agit transitivement".
d'accord merci beaucoup
C'est ce que j'ai commencé a faire pour la question 2, en effet les calculs sont affreux.
Pour "agit transitivement" apparemment ça signifie que le groupe des homographies envoie tout "cercle-droite" sur tout autre "cercle-droite". Je vois bien ce qu'on demande, je trouve meme le résultat plutot logique, mais je ne vois pas de quoi je peux le déduire, peut-etre de la question 2?
En tous cas, merci beaucoup à vous de me guider, vos explications sont tres claires et j'arrive à comprendre toute la démarche
Je crois me souvenir que le cercle (ou la droite) définie par les trois points z1,z2,z3 est l'ensemble des points z tels que le birapport [z,z1,z2,z3] est réel (ou quelque chose comme ça...) et qu'une homographie conserve le birapport.
Tout cela doit être en rapport avec votre problème
En fait pour la question 3, je me demande si ce ne serait pas parce quun cercle et une droite sont définis par trois points distincts. Comme on a prouvé dans la question 2 qu'une homographie est entièrement et uniquement déterminée par 3 points distincts et leurs images distinctes.
Pour la question 4, il s'agirait de montrer que l'homographie conserve le birapport? En fait, c'est un peu une généralisation du 1, si je comprends bien. Je ne vois pas trop comment partir
Et pour la question 5, j'ai trouvé sur internet que la condition de cocyclicité de 4 points a,b,c,d se traduit par [a,b,c,d]
(propriété que vous avez mentionné dans votre précédent post). Cependant je ne vois pas comment déduire ceci des questions précédentes
Bonjour 
Pour la 2, pas de calcul :
Il existe phi qui envoie z1 z2 z3 sur 1, 0, inf et psi qui envoie w1 w2 w3 sur 1, 0, inf.
Alors phi°psi-1 répond à la question.
Cordialement
Frenicle
De rien
Pour la 4, c'est pareil, il suffit de décomposer l'homographie en un produit de deux homographies qui conservent le birapport d'après 1.
Pour la 5, remarque que la droite des réels est l'image de n'importe quel cercle ou droite par une homographie bien choisie.
Pour la question 3, est-ce que je dois montrer qu'une homographie transforme un cercle en un cercle ou une droite et une droite et de meme pour une droite? Si c'est le cas, je ne vois pas trop comment faire.
Pour la 4, il faut que je trouve =0°0-1? Mais dans ce cas c'est l'identité donc je ne pense pas que ce soit juste.
Pour la 5, la condition d'alignement ou de cocyclicité de 4 points se traduit-elle par le fait que le birapport [a,b,c,d]?
Et comment retrouver le théoreme de l'angle inscrit?
Je suis vraiment bloquée à partir de la question 4. J'ai retourné le problème dans tous les sens, je ne vois pas comment faire.
Salut à tous, ce problème m'intéresse, quelqu'un peut-il m'indiquer comment traiter la question 7 s'il vous plait ?
Merci
Bonjour,
il suffit de fixer 3 points du cercle que tu enverrais sur 3 points de la droite. Tu peux les choisir pour que le problème soit simplifié. Justement le triplet suggeré {0,1,infini} semble le plus approprié.
Salut otto
faute de frappe, je voulais en fait la question 3
En utilisant le birapport j'ai [a,b,c,d]
donc [(a),(b),(c),(d)]
et la j'ai remplacer (z)=(az+b)/(cz+d) pour z=a..d
j'obtiens la une assez grosse expression, et je dois montrer qu'elle est réel mais je ne vois pas comment la simplifier ...