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Identité remarquable au cube, comment montrer...

Posté par
casiofx
30-01-07 à 19:00

Bonjour,

Comment montrer que quels que soient les nobmres a et b : a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Je sais qu'il sagit d'une identité remarquable :
a3 - b3 = (a - b)( a² + ab +b²)

Comment y montrer ? En citant cette identité remarquable, en montrant des applications ?

Merci !

Posté par
Stephmo
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 19:06

hello,

tu sais que a3-b3=(a+b)(a-b)(a+b)
il ne te reste plus qu'à développer (a+b)(a+b) et c'est fait !

Steph

Posté par
casiofx
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 19:15

"tu sais que a3-b3=(a+b)(a-b)(a+b) " -> Oui je suis d'accord

"il ne te reste plus qu'à développer (a+b)(a+b)"
-> Pourquoi développer ces deux termes ? j'ai peur de ne pas comprendre
Dois je démontrer que "quel soient les nombres..." en écriture littéraire ?

A = (a+b)(a+b)
A = a² + 2ab + b² ?


Merci pour ton aide !

Posté par
jacqlouis
re : Identité remarquable au cube, comment montrer 30-01-07 à 19:21

    Bonsoir. Avant de parler d'identité remarquable, fais déja les développements suivants :

    a*(a + ab + b²)      et     b*(a² + ab + b²)

Ensuite    fais  : 1er résultat moins 2ème résultat .
Tu auras ainsi  :  (a-b)*(a² + ab + b²)
et tu vérifieras à quoi c'est égal ?...

Posté par
Stephmo
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 19:23

il faut que tu prouves que a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

pour trouver cette écriture...c'est en développant (a+b)(a+b) dans (a-b)(a+b)(a+b) que tu vas pouvoir démontrer que cela marche...
pour ce genre d'exo, il faut développer ou factoriser grâce aux identités remarquables et là tu auras montrer qu'avec n'importe quel nombre cela marche..si tu veux en-dessous tu peux toujours mettre un ou 2 exemple un où par exemple a=1 et b=2 et un où a=3 et b=4 pour être sur !

après tu l'auras démontré ...tu m'as suivi?

Steph

Posté par
casiofx
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 19:44

Prouver que quels que soient les nombres a et b :
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

--------------------

Citation :
c'est en développant (a+b)(a+b) dans (a-b)(a+b)(a+b)


En récapitulant :

(a-b)(a+b)(a+b) est présent où ? correspondance avec (a-b)(a2+ab+b2) ?

(a+b)(a+b) est donc égale à (a+b)² qui donne a²+ 2ab +b²

Enfin ce que je veux dire c'est que dans l'énoncé on nous parle de : (a-b)(a2+ab+b2)
Or ici, (a+b)(a+b) qui correspond une fois développé (grâce a l'identité remarquable) à a² + [b]2[/b]ab + b²

Soit je cherche trop compliqué ou soit je suis à coté de la plaque (excusez pour l'expression)

Posté par
Stephmo
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 19:53

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
-----------------------
a3-b3=(a-b)(a+b)(a+b) t'es d'accord ?

a3-b3=(a-b)(a+b)2
a3-b3=(a-b)(a2+2ab+b2) tu comprends pourquoi ?

Steph

Posté par
jacqlouis
re : Identité remarquable au cube, comment 30-01-07 à 20:00

    Casio, fais donc ce que je te dis, et ne te casse pas la tête avec des discussions sans fin ...

Posté par
casiofx
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 20:14

Je commence à mieux comprendre Stephmo !
Merci pour ces explications !

énoncé : a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Donc quels que soient les nombres a et b : a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
car a3-b3=(a-b)(a+b)2

Prenant par exemple a=5 et b=2 :

=> a3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2)
=> a3-b3 =(a-b)(a+b)2
=> 5 au3 - 2 au3 = (5-3)(5-3)²
=> 117 = ...pourtant sa ne marche pas, oublier tel que chose ?

--------------------------
Merci jacqlouis !
mais je comprend encore moins ta méthode,

Posté par
jacqlouis
re : Identité remarquable au cube, comment 30-01-07 à 21:11

    Je ne connais pas ton niveau, et j'ai voulu te montrer que c'était plus simple de faire ce calcul :
       a*(² + ab + b²) - b*(a² + ab +b²)
plutôt que de se lancer dans :
       ( a - b)*(a² + ab + b²)     ... ce qui est exactement la même chose, mais qui parait plus compliqué!
    
    Ce n'est pas une méthode, ce n'est qu'une simplification. Si tu ne comprends pas, je m'étonne ...

Posté par
casiofx
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 30-01-07 à 21:49

Ce qui te parais plus compliqué me parait plus simple,
Je vous remercie vraiment pour vos réponse, merci jacqlouis d'avoir persévérer !

Posté par
jacqlouis
re : Identité remarquable au cube, comment montrer 30-01-07 à 23:09

     Ce n'est pas à moi que ce calcul parait plus compliqué , (tu veux rire!), mais je pense qu'il pourrait paraitre difficile au pauvre élève qui patauge devant un tel calcul !...

Posté par
casiofx
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 31-01-07 à 12:46

Merci, mais je sais effectuer ce calcul, la n'est pas le problème (a l'aide par exemple des identités remarquable), je ne s'avais pas comment prouver que quels que soit le nombre a et b cette "formule" étais correcte

Posté par
Mov
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 17-11-09 à 17:51

Bonjour !
J'ai pas trop compris votre solution...
En fait j'ai fais :
(ab)(a2-ab+b2)= a3-a2b-ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3

Mais j'arrive pas le retrouver dans l'autre sens.
Pourquoi a3-b3 =(a-b)(a+b)2 ? et pourquoi (a+b)2= a2-ab+b2 et pas a2-2ab+b2 ?

Posté par
jacqlouis
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 17-11-09 à 18:12

   Bonjour .    Parce que , sur le modèle  :
       (a+b)² = (a+b)*(a+b) = a² +ab + ba + b² =  a² + 2*ab + b²

Citation :
Mais j'arrive pas le retrouver dans l'autre sens.
Pourquoi a3-b3 =(a-b)(a+b)2 ? et pourquoi (a+b)2= a2-ab+b2 et pas a2-2ab+b2 ?


Parce que , encore une fois (comme je l'ai dit il y a bientôt Trois ans , on a :       ( a + b )²  =  a² + 2*ab + b²  et NON    a² + ab + b²
  et :    ( a - b )²  =  a² - 2*ab + b²  et NON    a² - ab + b²

Posté par
Mov
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 17-11-09 à 20:25

Ah d'accord

Merci

Posté par
Yuriku
re : Identité remarquable au cube, comment montrer... 25-12-10 à 17:43

Pour partir de a³-b³ et arriver au résultat final sans l'utiliser il suffit d'appliquer une petite astuce qu'on utilise très souvent en math, du style +1 - 1 qui ne change rien au résultat mais qui permet de faire des mises en évidence très pratiques, nottemment dans ce cas ci. On peut tomber sur pas mal de trucs mais ils sont toujours justes. Dans ce cas ci c'est plutôt simple:

a³-b³ = a².a-b².b+ab²-ab²+a²b-a²b   => l'égalité est vérifiée
on met en évidence a et b en utilisant les termes ajoutés:
1) a.a²+ab²+a²b = a(a²+b²+ab)
2) -b.b²-ab²-a²b = -b(b²+ab+a²)
on remplace dans l'expression de départ:
a³-b³ = a(a²+b²+ab) - b(b²+ab+a²)   => on voit qu'on a encore un terme que l'on peut mettre en évidence
a³-b³ = (a²+ab+b²).(a-b)            => et voilà on a notre expression finale

PS: J'ai vu plus haut dans ce topic quelqu'un qui disait:
a³-b³ = (a+b)(a-b)(a+b) <=> a³-b³ = (a+b)²(a-b)
Il faut savoir que cette égalité est fausse!
En effet: (a+b)²(a-b) = (a²+2ab+b²)(a-b) = a³-a²b+2a²b-2ab²+ab²-b³ = a³+a²b-ab²-b³
Et les termes ici "en trop" ne peuvent se simplifier sans donner à a et b des valeurs qui le permettraient.

Une bonne fin d'année à tous!

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