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Niveau Licence Maths 1e ann
integrale complexe et serie entière
Posté par qlampain
Bonsoir,
J'aurais besoin de votre aide car je bloque sur quelques questions sur de l'analyse complexe.
Je dois etudier la convergence de la serie entiere de terme general 2n* zn²
C'est le n² qui me dérange et je ne sais pas comment m'en sortir.
Ensuite je bloque aussi sur deux calculs d'integrales complexe:
on considère la fonction p : z=x+iy -> 1/y et je dois calculer l'integrale de p(z)dz sur deux domaines, l'un est le segment [z1,z2] et l'autre est le cercle de centre 0 reliant z1 et z2.
avec z1= 1+i et z2= -1+i
J'aurais tendance à dire que ces deux intégrales sont nulles mais je ne suis pas du tout sur de moi.
enfin on pose P allant de 
² dans et (x,y) -> 1/y
je dois donner l'ensemble de definition: l'ensemble de definition est tous les couples (x,y) tels que y différent de 0
enfin, soit 
un ouvert connexe de ² contenant (0,1), determiner l'application Q : -> de sorte que f(z)=f(x+iy)= P(x,y) + iQ(x,y) soit holomorphe et f(i)=1, determiner le plus grand possible.
Pour cette question j'avais penser à utiliser les relation de Cauchy, à savoir dP/dx = dQ/dy et dP/dy= - dQ/dx mais je n'aboutis à rien.
Je suis conscient que je pose beaucoup de question à la fois, mais si quelqu'un avait la gentillesse de me repondre ça serait super sympa car j'en ai besoin pour mes exams!
Merci d'avance!
Bonsoir,
Pour la série entière le n² ne gène pas en fait. Il faut appliquer la définition du rayon de convergence de Hadamard (c'est une lim sup). Et vu que c'est une limsup, c'est comme étudier la CV de la suite [2^n]^(1/n) pour obtenir le rayon de convergence.
1."la serie entiere de terme general 2n* zn²"
Que fait cette série si z = 1 . Qu'en déduit-on pour le rayon R de convergence ?
Que fait cette série si |z| < 1 (d'alembert semble indiqué) donc R = ..
2."calculer l'integrale de p(z)dz sur deux domaines"
Le mot domaine a un sens bien défini en maths qui n'est pas celui que tu penses être.
Il s'agit ici , je pense, d'intégrale curviligne .
3. "le cercle de centre 0 reliant z1 et z2." n'a pas de sens : il y en a une infinité .
Ce ne serait pas des demi-cercles ?
Pour se comprendre on doit utiliser les mêmes termes et la plupart de ceux utilisés en maths sont fixés (par l'usage)
Merci à vous deux pour votre aide.
Pour le rayon de convergence, j'applique cauchy à [2^n]^(1/n), ce qui me donne 2^1/n qui tend vers 1 donc rayon de convergence egal à 1.
En revanche pour les intégrales curvilignes je ne vois pas bien comment les calculer, si quelqu'un pouvait m'aider.
En ce qui concerne le 3) c'est bien un demi cercle(arc de cercle de centre 0 reliant z1 à z2)
salut
il n'y a qu'un seul cercle de centre et passant par
avec
.trouve un moyen de continuer ou encore te ramener à une integration curviligne
bonjour milton;
Tu n'aurais pas fait une erreur dans la def de p(z)? J'aurais mis p(z)=1/z.
Et as tu une idée pour le dernier ex que j'ai mis? Si il faut utiliser les conditions de Cauchy ou pas.