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intégrale residus

Posté par
Sand76 20-06-09 à 14:52

Bonjour,
je ne vois pas comment calculer l'intégrale suivante à l'aide du théorème des résidus...
Quelqu'un a une idée? (l'intégrale est de 0 à )

1/(3+ cos(2x)) dx

Merci d'avance

Posté par
romure : intégrale residus 20-06-09 à 15:00

Salut,

tu peux peut être te ramener a un calcul de résidus en posant z=e^{2ix},
si x va de 0 à \pi, z parcourt le cercle unité dans le sens direct.

Posté par
Sand76re : intégrale residus 20-06-09 à 15:05

j'avais cru comprendre que justement, il ne fallait surtout pas utiliser cette méthode pour un calcul avec du "cos(ax)"...

Posté par
Narhmre : intégrale residus 20-06-09 à 15:17

Bonjour à vous deux !

Tu peux déjà commencer à faire le changement de variable t=2x : 3$ I=\Bigint_0^{\pi} \fr{1}{3+\cos(2x)}dx = \Bigint_0^{2\pi} \fr{1}{6+2\cos(t)}dt = \Bigint_0^{2\pi} f(cos(t))dt
avec f(t)=1/(6+2t).
En posant 3$ z=e^{it} de sorte que 3$ \cos(t)=\fr{1}{2}(z+\fr{1}{z}), tu remarqueras alors que 4$ I=\Bigint_{\mathcal{C}} \fr{1}{iz}f(\fr{1}{2}(z+\fr{1}{z}))dz
Applique à présent le théoreme des résidues

Posté par
Sand76re : intégrale residus 20-06-09 à 15:30

aah oui effectivement une fois le changement de variable fait, ça me parait beaucoup plus simple !!!
Merci beaucoup !!

Posté par
Narhmre : intégrale residus 20-06-09 à 15:49

De rien pour ma part,




PS :  Si tu veux vérifier ton calcul, je trouve au final : 2$ I=\fr{\pi}{2\sqrt{2}} !


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