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Intégrales multivalentes

Posté par
jonjon71 18-01-10 à 21:16

Bonjour !

Pour réviser un partiel d'analyse je veux calculer ces deux intégrales :

A=\int_0^{+\infty}\frac{ln x}{x^2+a^2}dx

B=\int_0^{+\infty}\frac{x^\alpha}{1+x}dx

Je sais qu'il faut utiliser la méthode des résidus. Ce qui me pose problème, c'est que je n'arrive pas à trouver le chemin le long duquel on va calculer cette intégrale. S'il s'agissait d'intéragles définies entre -\infty et +\infty je pourrais prendre un demi-cerlce de rayon R et appliquer le lemme de Jordan. Mais là je ne vois pas.

Merci à toute contribution !

Posté par
sambgoreere : Intégrales multivalentes 18-01-10 à 22:26

Bonsoir pour R=\frac{P}{Q} une fonction rationnelle qui n'admet pas de pôles sur [0,+\infty[et telle que degP+2 \le degQ ona :
\int_0^{+\infty}R(x)lnxdx=-\frac{1}{2}Re\sum_{z\neq0^}res_{z}(R(t)ln^2(t))
Dans notre cas:
\frac{ln^2t}{t^2+a^2}=(\frac{ln^2t}{(t-ia)(t+ia)} et
res_{ia}(R(t)ln^2t)=\frac{\pi lna}{2a}+i\alpha de même res_{-ia}(R(t)ln^2t)=\frac{-3\pi lna}{2a}+i\beta (Tu peux même faire les calculs et trouver \alpha et \beta..)
D'ou \int_0^{+\infty}\frac{lnx}{x^2+a^2}dx=-\frac{1}{2}(\frac{\pi lna}{2a}+\frac{-3\pi lna}{2a})=\frac{\pi lna}{2a}
rmq: a>0 et 0<Im(lnz)<2\pi

Posté par
sambgoreere : Intégrales multivalentes 18-01-10 à 23:02

Pour le second, notre objectif est de calculer \int_0^{+\infty}x^{\alpha}R(x)dx
a)R=\frac{P}{Q},deg(P+2)\le degQ
b)R n'a pas de pôles sur ]0,+\infty[
c)0<\alpha<1
On a la formule suivante pour ces conditions:
\int_0^{+\infty}x^{\alpha}R(x)dx=\frac{2\pi i}{(1-e^{2\pi i\alpha})}\sum_{z\neq 0}res_z(t^{\alpha}R(t)),
par contre ici faut prendre R(t)=\frac{1}{t(t+1)} pour satisfaire la condition a), ensuite calculer res_{-1}=\frac{t^{\alpha}}{t(t+1)}=? (à calculer), le problème maintenant c'est que t'auras le resultat suivant \int_0^{+\infty}\frac{x^{\alpha-1}}{x+1}dx=\frac{\pi}{sin\pi \alpha} (je te donne le resultat)...en fait c'est pas vrai un problème car il te suffit de poser \alpha-1=\beta
sauf erreur...

Posté par
kybjmre : Intégrales multivalentes 18-01-10 à 23:08

Soient U = { ei | > 0 , - < < +} et  L : ei ln() + i. de U vers .

Pour A : Prends f : z L(z)/(z2 + a2)
Pour le contour d'intégration: prends ]/2 , [ [ , r et R des réels vérifiant  < r < 1 < R et considère   = ABCD où
A = [r , R] , B = { Reit | 0 t } , C = { ei | r R } et D = { reit | 0 t }
Prends un sens de parcour qui enferme le pôle ia de f .
Ensuite fait tendre vers . Tu auras à prouver que tu peux intervertir lim et .
Il ne te resteras plus qu'à faire tendre r vers 0 et R vers +

Posté par
jonjon71re : Intégrales multivalentes 19-01-10 à 19:10

Merci à tous les 2 sambgoree et kybjm !

Je vais essayer de calculer ces intégrales en utilisant vos indications. Je pense que je vais rédiger la solution pour la soumettre parcequ'il y  de fortes chances qu'elles soient au partiel.


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