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Niveau Licence Maths 1e ann
Intégration sur un chemin complexe
Posté par Skops
Bonsoir,
Soit , la courbe de Jordan constitué de l'intervalle [-R;R] avec R>1 sur l'axe réel et la demi circonférence de centre 0 et de rayon R dans le demi-plan imaginaire positif.
Calculer
- est analytique dans C privée de i et -i
- Un paramétrage de la courbe de Jordan est pour
et
pour
.
Et après, je vois plus vraiment comment faire...
Auriez vous une indication s'il vous plait ?
Merci 
Skops 
Bonsoir,
Est-ce qu'on te demande de calculer explicitement les diverses parties de l'intégrale sur le chemin, ou ne serait-ce pas plutôt un cas d'application du théorème des résidus ?
On me demande de calculer ^^
Et si on peut faire autrement que par les résidus, j'aimerais bien
Skops
Pour commencer, la partie sur l'axe réel ne pose pas de problème, on connaît les primitives de 1/(1+x²)...
-> Camélia, j'étais parti aussi comme ça, mais le dénominateur, en fait ce n'est pas 1+exp(2it), mais 1+R²exp(2it), ce qui complique singulièrement les choses... Ou alors j'ai raté une étape ?
Zut! Tu as raison! je réfléchis encore un peu, mais je pense que c'est une histoire de résidus, qui marchent très bien!
Ben oui, c'est ce que je suggérais au début, mais Skops avait l'air de tenir à son intégration "a la mano"... Peut-être qu'il n'a pas correctement interprété le souhait de son prof, ou que le prof n'a pas été assez clair 
Si R est un réel de ]1,+infini[,pour tout t réel 1+R²exp(2it) est non nul et on a :
exp(it)/(1+R²exp(2it)) = (exp(it)+R²exp(-it))/(1+ R4 + 2R²cos(4t))
On est donc amené à ''calculer'' les intégrales de 0 à Pi de cos(t)/(1+ R4 + 2R²cos(4t))et de
sin(t)/(1+ R4 + 2R²cos(4it))
Cela doit pouvoir se ramener à un calcul d'intégrales de fractions rationnelles