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Mathématique dm de proba

Posté par
Calipso
07-03-12 à 00:45


Bonjour, j'ai un dm a faire et je bloque légèrement .

Un site internet propose des jeux en ligne.
Pour un premier jeu :
  - si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à 2/5.
  - si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à 4/5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l'évènement « l'internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l'évènement Gn.
L'internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
Cf pièce jointes.
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1/5 pn +1/5.
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − 1/4.
  a. Montrer que (un)n∈N est une suite géométrique de raison 1/5 et de premier terme u1 à préciser.
  b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3/4 * (1/5)n-1 +1/4.
  c. Déterminer la limite de pn.

J'ai fais l'arbre pondéré, en trouvant de haut en bas, 2/5, 3/5, 1/5, 4/5. 
Je ne sais absolument pas comment aborder la question 2. De laide serait la bienvenue merci

Posté par
Yves
re : Mathématique dm de proba 07-03-12 à 01:36

Déjà il y a un petit piège dans ton énoncé... "si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à 4/5." Donc si l'internaute perd une partie, quelle est la probabilité qu'il gagne la partie suivante ?

Maintenant pour attaquer la question 2.
Tu te places à la n+1 ieme partie et tu vas chercher à calculer la probabilité qu'elle soit gagnante  : pn+1

Cela va dépendre de ce qui s'est passé la partie précédente.
* Soit la partie précédente a été gagnée (par définition, probabilité d'avoir gangé la partie n est pn)
* Soit elle a été perdue : quelle est la probabilité que la nième partie soit perdue ?

A chacune de ces deux éventualités pour la partie n est ensuite associé une probabilité que la partie suivante (la n+1ième) soit gagnante.

Tu mets tout cela bout à bout et tu obtiens la probabilité de gagner la partie n+1

Posté par
Yves
re : Mathématique dm de proba 07-03-12 à 01:58

Citation :
J'ai fait l'arbre pondéré, en trouvant de haut en bas, 2/5, 3/5, 1/5, 4/5.

n'ayant pas le format de l'arbre à compléter c'est difficile d'être catégorique, mais il ne me semble pas évident que ce que tu écrives soit juste...

Ton arbre devrait ressembler à quelque chose comme ceci:

                 2/5
           2/5
                 3/5

      2/5

                 1/5
           3/5
                 4/5

   1

                 2/5
           1/5
                 3/5

      3/5

                 1/5
           4/5
                 4/5

.


   0



Ce qui donne : p1 = 1 ; p2 = 2/5 ; p3 = 7/25 ; p4 = 32/125

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