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Montrer que n² divise (n+1)^n - 1

Posté par
Orelsan 23-10-09 à 21:25

Bonjour je vous demande de l'aide parce que j'ai un exercice qui a été corrigé en cours et je ne comprends pas la correction, sachant que je n'ai pas pu assister au cours (j'ai passé mon permis).
Il faut montrer que n² divise (n+1)n - 1 avec n *

corrigé : (n+1)n -1 = n² - 1 + (de k=2 à n) (k parmi n) * nk
J'ai compris ceci mais pourquoi cela prouve que n² divise (n+1)n - 1
Merci d'avance

Posté par
nipargre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 21:47

bonsoir
(n+1)^n=\Bigsum_{k=0}^n\(C_n^k)(n^k)=(C_n^0)n^0+ (C_n^1)n^1+\Bigsum_{k=2}^n\(C_n^k)(n^k)=1+n^2+\Bigsum_{k=2}^n\(C_n^k)(n^k)
tous les termes de la somme étant  divisibles par n2le résultat s'ensuit                          '

Posté par
Orelsanre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 22:08

Merci niparg, j'ai compris maintenant ^^
(Attention parcontre k commence à 1 )

Posté par
Orelsanre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 22:17

Pourquoi k commence à 0 ?

Posté par
nipargre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 22:29

attention le développement de(a+b)^ncontient n+1 termes , donc k varie de 0 à n
a+b=a+b
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Posté par
Orelsanre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 22:31

A d'accord merci je comprends mieux maintenant

Posté par
nipargre : Montrer que n² divise (n+1)^n - 1 23-10-09 à 22:34

(a+b)^n=\bigsum_{k=0}^n\(C_n^ka^kb^{n-k})


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