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multiples
Posté par mikado
bonjour,
soit a et b deux nombres premiers. m multiple de a et m multiple de b.
alors m multiple de ab.
je comprend cette propriété à partir d'un exemple mais je ne trouve pas comment la démontrer.
(pire j'arrive à trouver que si m multiple de a alors non multiple de b:
si a et b sont premier alors a=k*b où k n'appatient pas aux entiers. on a m multiple de a donc m=K1*a=K1*k*b. or K1*k n'appartient pas aux entiers donc m n'est pas multiple de b).merci de m'aider
Bonjour,
m est multiple de a donc m=K1*a --> d'accord
a=k*b avec k pas entier --> oui aussi
Mais je ne vois pas qu'est-ce qui empêcherait K1*k d'être entier... (exemple : 1/2 n'est pas entier, 2 est entier, mais le produit (1/2)*2 est un entier 
)
Les hypothèses nous disent que :
m=k*a avec k entier
m=k'*b avec k' entier
a et b sont premiers entre eux.
Tu veux montrer que m=k''ab avec k'' entier.
On écrit que m = k1a et m = k2b. Donc k1a = k2b. D'où a | k2b et a et b sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss a | k2 : il existe donc k3 tel que k2 = ak3.
Finalement, on a k2b = (ak3)b et comme m = k2b cela implique m = abk3 ie m est un multiple de ab.
De manière générale, si on note l'ensemble des multiples de
alors
lorsque les \Large p_i sont 2 à 2 premiers entres eux et distincts. La preuve se fait par récurrence.