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Niveau Licence Maths 1e ann
n+1 divise n²+1
Posté par sasaki93
Bonjour tout le monde,
Voila un exercice que j'ai résolue mais dont la solution m'intrigue (trop pour que je soit sur que j'ai bon).
Je post ici l'énoncé et ma résolution. J'aimerais juste qu'on me dise si la solution et la méthode est bonne.
Déterminer tous les entiers naturels n tel que n+1 divise n²+1.
Ma résolution:
Soit n un entier naturel.
(n+1)² = n² + 2n + 1
n+1 divise (n+1)² donc n+1 divise (n² + 2n + 1)
On suppose que n+1 divise n²+1
Comme n+1 divise (n² + 2n + 1)
alors n+1 divise (n² + 1 + 2n - n² - 1)
c'est-à-dire n+1 divise 2n
Réciproquement, on suppose n+1 divise 2n
Comme n+1 divise (n² + 2n +1)
Alors n+1 divise (n² + 2n + 1 -2n)
c'est-à-dire n+1 divise (n² + 1)
Conclusion: n+1 divise n²+1 équivaut à n+1 divise 2n
n+1 divise 2n si et seulement si il existe un entier relatif q tel que: 2n = (n+1)q
Supposons que n+1 divise n²+1 (et donc qu'un tel q existe) on a:
2n = (n+1)q
2n = nq + q
2n - nq = q
n(2-q) = q
n= q/(2-q) car 2-q
0 car q2 (en effet, si q=2 alors n = n+1 ce qui est absurde)
n
donc n
0
n0 
q0 et 2-q
0
ou q
0 et 2-q
0
n0 q0 et q2
ou q0 et q2 (impossible)
n0 q
{0,1}
Donc si n+1 divise n²+1 alors q=0 ou q=1 donc n=0 ou n=1
Réciproquement, si n=0 alors n+1=1 et n²+1=1 et 1 divise 1
si n=1 alors n+1=2 et n²+1=2 et 2 divise 2
Conclusion finale: n+1 divise n²+1 si et seulement si n=0 ou n=1
oups les grandes croix rouges sont des symboles plus petit ou plus grand strictement.
désolé du double post et merci d'avance pour vos réponses.
n+1|n²+1 = (n + 1)² - 2n => n+1|2n
or n et n+1 premier entre eux, donc n+1|2
et donc n+1 = 1 ou n+1 = 2
...
ok merci quel boulet je n'ai même pas pensé au théoréme de Gauss.
Bon en tout cas j'avais quand même juste. Mais ma rédaction est beaucoup plus longue.
Merci beaucoup.
euh pourquoi chacala73 tu dis que ma réponse est magnifique ? je trouve encore plus belle (car plus concise) la réponse proposé par pgeod.
A moins que votre remarque s'adresse justement à pgeod.
salut ,
d'abord j'ai posté ma reponse avant de voir la reponse de pgeod(pendant qu'il l'a posté je suis entrain de verifier la tienne)
secondo je dit magnifique parceque c'est un grand travail
et enfin je suis desolé si ça t'a gené mais pendant ma verification je n'ai trouvé aucune faute donc ta reponse est bien sure correcte
Nan ça ne m'a pas du tout géné mais juste que pour moi une démonstration est magnifique lorsqu'elle est claire et concise.
Et puis pour le grand travail je ne sais pas j'ai pas l'impression qu'il s'agisse là d'un exo extremement compliqué (à vrai dire mon niveau en arithmétique est celui de term s spé maths donc voila quoi...)
Voila encore merci.
bonsoir à tous les deux. 
La réponse de sasaki93 était donc magnifiquement juste,
ce dont je conviens également.
...
une simple division euclidienne et c'etait reglé
n²+1= (n-1)(n+1)+2 en divisant les deux mbrs par n+1 , il vient n²+1/n+1= n-1+2/(n+1)
on voit vite que les diviseurs de 2 sont 1 et lui meme alors il faut que n+1=2 soit n=1 ou n+1=1 et n=0