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n[sup]n[/sup]/n!<n

Posté par
Jonny512 07-09-07 à 16:04

Bonjour
Parmi une liste d'exercices l'on m'a donner à faire en classe, deux m'ont posé problème.
Il s'agit pour le premier de montrer que nn/n!<n. J'ai essayer de le faire par récurrence mais je ne parvient pas à un résultat.
Par ailleurs on m'a demandé de résoudre dans C l'équation Zn=1 et je vous avouerai que je ne comprend même pas l'énoncé! S'agit-il de remplacer z par x+iy, d'utiliser les modules, arguments ou autre.
Je suis perdu

Posté par
jamo Moderateurre : n[sup]n[/sup]/n! 07-09-07 à 16:07

Bonjour,

pour le 2ème exercice, passe par la forme exponentielle : 4$Z= \rho e^{i \theta}

Posté par
jamo Moderateurre : n[sup]n[/sup]/n! 07-09-07 à 16:08

Tiens, lis ceci :

Posté par
raymond Correcteurre : n[sup]n[/sup]/n! 07-09-07 à 16:13

bonjour

Je pense que la première question est plutôt : 3$\textrm\frac{n^n}{n!} > n

Il me semble que la récurrence convient.

A plus RR.

Posté par
romure : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 16:21

bonjour,

pour le premier, j'ai l'impression que c'est faux:

montrer que \frac{n^n}{n!}<n, revient à montrer que \frac{n!}{n^n}>\frac{1}{n}.

Or  5$\frac{n!}{n^n} = \frac{n\times(n-1)\times \cdots \times2}{n\times n \times \cdots \times n}\times \frac{1}{n},

et 4$\frac{n\times(n-1)\times \cdots\times 2}{n\times n \times \cdots\times n} est compris entre 0 et 1.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : n[sup]n[/sup]/n! 07-09-07 à 16:24

Bonjour ;

Si n est un entier naturel non nul on a :

3$\fbox{\frac{1}{n}\times\underb{\frac{2}{n}\times..\times\frac{n-1}{n}\times\frac{n}{n}}_{\le1}\hspace{5}\le\frac{1}{n}} (sauf erreur)

Posté par
Dremire : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 16:24

L'inégalité est dans l'autre sens pour n\geq3: n^n/n!>n\ \Leftrightarrow\ n^{n-2}>(n-1)!\ \Leftrightarrow\ \bigprod_{k=1}^{n-2}n>\bigprod_{k=1}^{n-2}(n-k).

Posté par
Jonny512re : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 17:39

Merci pour toutes vos réponses.
Cependant je ne comprend pas comment résoudre Zn=1. En le remplaçant par sa notation exponentielle, je n'arrive pas à saisir où cela peut-il me mener!

Posté par
Dremire : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 18:57

Avec z=|z|e^{i\theta},\ \theta\in[0,2\pi[ (en polaires), z^n=1\ \Leftrightarrow\ |z|^n e^{in\theta}=1\ \Leftrightarrow\ (|z|^n=1 \text{ et } e^{in\theta}=1) \Leftrightarrow\ (|z|=1 \text{ et } n\theta\equiv0 \pmod{2\pi}) \Leftrightarrow\ (|z|=1 \text{ et } \theta=2\pi k/n,\ k\in[0,n-1]\cap\mathbb{N}).
Bref les solutions de z^n=1 sont les n z_k=e^{i2\pi k/n},\ k\in[0,n-1]\cap\mathbb{N}.

Posté par
Jonny512re : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 19:14

Oua j'étais vraiment loin de raisonner ainsi!
Si vous pouviez juste me donner une petite précision ce serait parfait!
Lorsqu'on me demande de résoudre cette équation dans C puis dans R, quelles sont les différences au niveau des solutions?

Posté par
Dremire : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 19:45

La résolution que j'ai faite est dans \mathbb{C}: elle donne aussi les solutions dans \mathbb{R}: si n impair, uniquement z_0=1; si n pair, 2 solutions z_0=1,\, z_{n/2}=-1 (les autres z_k\notin\mathbb{R}).
Si on veut résoudre seulement dans \mathbb{R}, il suffit de voir que la fonction réelle f:x\mapsto x^n est strictement croissante si n impair, strictement décroissante sur ]-\infty,0] et strictement croissante sur [0,+\infty[ si n pair (par le signe de la dérivée); donc f^{-1}(1) est un ensemble d'au plus 1 élément si n impair et 2 éléments si n pair; donc si n impair, pas d'autre solution que la solution évidente 1, et si n pair, pas d'autres solutions que les solutions évidentes 1 et -1.

Posté par
infophilere : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 19:46

Bonsoir Dremi

La commande \mapsto ne fonctionne pas sur l' , il faut utiliser \to

Posté par
Dremire : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 19:48

Il faut lire f: x \mapsto x^n.

Posté par
Dremire : n[sup]n[/sup]/n!<n 07-09-07 à 19:49

Bonsoir infophile.


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